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कैसे एक Trinomio टूट करने के लिए

एक त्रिमितीय एक बीजीय अभिव्यक्ति है जिसमें तीन शब्द हैं। अधिकतर संभावना है, आप द्विघात त्रिनोमस को तोड़ना सीखना शुरू करेंगे, यानी कुल्हाड़ी के रूप में लिखा है2

+ बीएक्स + सी। सीखने के लिए कई युक्तियां हैं कि विभिन्न प्रकार के द्विघात trinomials पर लागू होते हैं, लेकिन आप अभ्यास के साथ ही बेहतर और तेज हो जाएंगे। एक उच्च डिग्री के बहुपद, जैसे एक्स के साथ शब्दों3 या एक्स4, उन्हें हमेशा एक ही तरीके से हल नहीं किया जा सकता है, लेकिन उन समस्याओं में बदलने के लिए साधारण अपघटन या प्रतिस्थापन का उपयोग करना अक्सर संभव होता है, जिन्हें किसी भी प्रकार का द्विघात सूत्र की तरह हल किया जा सकता है।

कदम

विधि 1

एक्स तोड़ो x2 + बीएक्स + सी
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एफओआईएल तकनीक जानें आप पहले से ही एफओआईएल विधि सीख सकते हैं, यानी "सबसे पहले, बाहर, अंदर, अंतिम" या "सबसे पहले, बाहर, अंदर, अंतिम", अभिव्यक्तियों को गुणा करने के लिए जैसे (x + 2) (x + 4) अपघटन आने से पहले यह पता चलता है कि यह कैसे काम करता है:
  • शब्दों को गुणा करें पहले: (एक्स+2) (एक्स+4) = एक्स2 + __
  • शब्दों को गुणा करें बाहर: (एक्स+2) (x +4) = x2+4x + __
  • शब्दों को गुणा करें अंदर: (एक्स +2) (एक्स+4) = एक्स2+4x +2x + __
  • शब्दों को गुणा करें अंतिम: (एक्स +2) (एक्स +4) = x2+4x + 2x +8
  • सरलीकृत करें: x2+4x 2x ++8 = एक्स2+6x+8
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    फर्कराइजेशन को समझने की कोशिश करें जब दो द्विपदताएं एफओआईएल पद्धति से गुणा होती हैं, तो हम रूप में एक त्रिकोणमी (तीन शब्दों के साथ एक अभिव्यक्ति) आते हैं कोएक्स2 + खएक्स + ग, जहां ए, बी और सी कोई संख्या हैं। यदि आप इस प्रपत्र में एक समीकरण से शुरू करते हैं, तो आप इसे दो बिनोमियल्स में तोड़ सकते हैं।
  • यदि इस क्रम में समीकरण लिखा नहीं गया है, तो पदों को स्थानांतरित करें। उदाहरण के लिए, फिर से लिखना 3x - 10 + x2 कैसे एक्स2 + 3x - 10.
  • के रूप में उच्चतम एक्सपोनेंट 2 है (एक्स2), इस तरह की अभिव्यक्ति है "द्विघात"।
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    एफओआईएल फॉर्म में जवाब के लिए एक जगह लिखें। अभी के लिए, बस लिखो (__ __) (__ __) उस स्थान पर जहां आप जवाब लिख सकते हैं हम इसे बाद में पूरा करेंगे।
  • खाली शब्दों के बीच + या - लिखना न करें, क्योंकि हमें नहीं पता कि वे क्या होंगे।
  • फैक्टर टोरोमिअल्स चरण 4 नामक छवि
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    पहले शब्दों को भरें (प्रथम) सरल अभ्यास के लिए, जहां आपके ट्रिनीमियल की पहली अवधि केवल एक्स है2, पहली (प्रथम) स्थिति में शर्तों हमेशा होगा एक्स और एक्स. ये शब्द x के कारक हैं2, x से x = x के लिए2.
  • हमारा उदाहरण x2 + 3 x - 10 एक्स के साथ शुरू होता है2, इसलिए हम लिख सकते हैं:
  • (x __) (x __)
  • हम अगले चरण में अधिक जटिल अभ्यास करेंगे, जिसमें टिननोमा शामिल होंगे, जो कि 6x जैसे शब्द से शुरू होगा2 या -x2. अभी के लिए, उदाहरण समस्या का पालन करें
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    आखिरी (अंतिम) शर्तों का अनुमान लगाने के लिए अपघटन का उपयोग करें। यदि आप वापस जाएं और फ़ॉइल पद्धति के मार्ग को फिर से पढ़ लें, तो आप देखेंगे कि अंतिम शब्दों को एक दूसरे के साथ गुणा करके (अंतिम) आपके पास बहुपद का अंतिम शब्द होगा (एक्स के बिना एक)। इसलिए, अपघटन को बनाने के लिए, हमें दो नंबरों को खोजने की आवश्यकता है, जो गुणा किया जाता है, आखिरी अवधि देता है।
  • हमारे उदाहरण में, x2 + 3 x - 10, अंतिम शब्द है -10
  • -10 डिवाइडर क्या हैं? कौन से दो संख्याएं एक साथ गुणा करती हैं -10 दें?
  • कुछ संभावनाएं हैं: 10 के लिए -1, 1 के लिए -10, 5 या 5 के लिए -5 के लिए। इन जोड़ों को कहीं याद रखें, उन्हें याद रखें।
  • फिर से अपना जवाब मत बदलो। फिलहाल, हम इस बिंदु पर हैं: (x __) (x __).
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    शर्तों के बाह्य और आंतरिक गुणन (बाहर और अंदर) के साथ क्या संभावनाएं अच्छी हैं यह प्रयास करें हमने अंतिम संभावनाएं (अंतिम) को कुछ संभावनाओं को सीमित कर दिया है हर संभावना का प्रयास करने के प्रयासों के लिए, बाह्य और आंतरिक शर्तों को गुणा करना (बाहर और अंदर) और हमारे ट्रिनीमियल के साथ परिणाम की तुलना करना। उदाहरण के लिए:
  • हमारी मूल समस्या में एक शब्द है "एक्स" जो 3x है, जो कि हम इस परीक्षा के साथ मिलना चाहते हैं।
  • 1 और 10 के साथ प्रयास करें: (x - 1) (x + 10) बाहरी + आंतरिक = बाहर + अंदर = 10x - x = 9x वे अच्छे नहीं हैं
  • 1 और -10: के साथ प्रयास करें (x + 1) (x - 10) -10 x + x = -9x यह सच नहीं है। वास्तव में, आप 1 और 10 के साथ एक बार कोशिश कर चुके हैं, तो आप जानते हैं कि 1 और -10 पिछले एक से विपरीत उत्तर देगा: 9x की जगह 9-9।
  • 2 और 5 के साथ प्रयास करें: (x - 2) (x + 5) 5x - 2x = 3x यह मूल बहुपद से मेल खाती है, इसलिए यह सही उत्तर है: (एक्स - 2) (एक्स +5).
  • इस तरह के सरल मामलों में, जब एक्स के सामने कोई संख्या न हो, तो आप शॉर्टकट का उपयोग कर सकते हैं: बस दो कारकों को एक साथ जोड़ दीजिए और एक "एक्स" (-2 + 5 → 3x) यह सबसे जटिल समस्याओं के साथ काम नहीं करता, हालांकि, यह याद रखना अच्छा है "लंबा रास्ता" ऊपर वर्णित

    • विधि 2

    त्रिनिमी प्लस कॉम्प्लेक्स को डिससेम्बल करें
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    सबसे जटिल समस्याओं की सुविधा के लिए सरल अपघटन का उपयोग करें मान लीजिए हम सरल बनाना चाहते हैं 3x2 + 9x - 30. तीन शब्दों (अधिकतम सामान्य भाजक, एमसीडी) में से प्रत्येक के लिए एक विभाजक के लिए देखो। इस स्थिति में, यह 3 है:
    • 3x2 = (3) (एक्स2)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3) (- 10)
    • इसलिए, 3x2 + 9 x - 30 = (3) (एक्स2 + 3 x -10) हम पिछली खंड में दी गई प्रक्रिया का उपयोग करके ट्रिनीमियल को फिर से विघटित कर सकते हैं। हमारा अंतिम उत्तर होगा (3) (एक्स - 2) (एक्स +5).
  • इमेज शीर्षक फैक्टर टोरोमिअल्स चरण 8



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    अधिक जटिल अपघटन के लिए देखें कभी-कभी, यह चर हो सकता है या सरल संभव अभिव्यक्ति को खोजने के लिए दो बार तोड़ने के लिए आवश्यक हो सकता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
  • 2x2वाई + 14xy + 24y = (2y)(एक्स2 + 7x + 12)
  • एक्स4 + 11x3 - 26x2 = (एक्स2)(एक्स2 + 11x - 26)
  • -एक्स2 + 6x - 9 = (-1)(एक्स2 - 6x + 9)
  • विधि 1 में प्रक्रिया का उपयोग करके इसे नीचे तोड़ने के लिए मत भूलें। परिणाम की जांच करें और इस पृष्ठ के नीचे दिए गए उदाहरणों के समान अभ्यास खोजें।
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    X के सामने एक संख्या के साथ समस्याओं का समाधान करें2. कुछ ट्रिनोमा को सरलीकृत नहीं किया जा सकता जब तक आपको कारक न मिलें। 3x जैसी समस्याओं को हल करना सीखें2 + 10x + 8, फिर पृष्ठ के निचले भाग में नमूना समस्याओं के साथ अभ्यास किया गया:
  • तो समाधान सेट करें: (__ __) (__ __)
  • हमारी पहली शर्तों (प्रथम) में प्रत्येक के पास एक्स होगा और 3x देने के लिए एक साथ गुणा करें2. यहां केवल एक संभव विकल्प है: (3x __) (एक्स __).
  • 8 के विभाजक की सूची। संभव विकल्प 8 x 1 या 2 x 4 हैं
  • बाहरी और आंतरिक शर्तों (बाहरी और अंदर) का उपयोग करके उन्हें आज़माएं ध्यान दें कि कारकों का क्रम महत्वपूर्ण है, क्योंकि बाहरी शब्द को एक्स की बजाय 3x से गुणा किया जाता है। जब तक आप बाहरी + आंतरिक (बाहर + इनसाइड) प्राप्त न करें, जो 10x देता है (मूल समस्या से) सभी संभावित संयोजनों को आज़माएं:
  • (3x + 1) (एक्स + 8) → 24x + x = 25x नहीं
  • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x नहीं
  • (3x + 2) (एक्स + 4) → 12x + 2x = 14x नहीं
  • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x हां यह सही अपघटन है
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    उच्चतम ग्रेड ट्रिनोमा के लिए प्रतिस्थापन का उपयोग करें गणित पुस्तक आपको आश्चर्यजनक रूप से एक उच्च प्रतिपक्षी बहुपद के साथ ले जा सकती है, जैसे कि x4, यहां तक ​​कि समस्या को सरल बनाने के बाद भी अपने आप को एक अभ्यास के साथ खोजने के लिए एक नया चर बदलने की कोशिश करें, जिसे आप हल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:
  • एक्स5+13x3+36x
  • = (एक्स) (एक्स4+13x2+36)
  • हम एक नया चर का उपयोग करते हैं मान लें कि y = x2 और हम प्रतिस्थापित करते हैं:
  • (एक्स) (y2+13y + 36)
  • = (एक्स) (y + 9) (y + 4)। अब चलो प्रारंभिक चर पर वापस जाते हैं।
  • = (एक्स) (एक्स2+9) (एक्स2+4)
  • =(एक्स) (एक्स ± 3) (x ± 2)

    • विधि 3

    विशेष मामलों का टूटना
    छवि का शीर्षक फैक्टर ट्रार्मोमिल्स स्टेप 11
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    प्रधान संख्याओं के साथ जांचें जांचें कि क्या ट्रिनीमियल की पहली या तीसरी अवधि में स्थिरांक एक प्रमुख संख्या है। एक प्रमुख संख्या केवल वही विभाज्य है और 1, इसलिए संभवतः केवल कुछ संभावित कारक हैं
    • उदाहरण के लिए, trinomio x में2 + 6x + 5, 5 यह एक प्रमुख संख्या है, इसलिए द्विपक्षीय रूप में होना चाहिए (__ 5) (__ 1)।
    • 3x समस्या में2 + 10x + 8, 3 यह एक प्रमुख संख्या है, इसलिए द्विपद रूप में होना चाहिए (3x __) (x __)।
    • 3x समस्या के लिए2 + 4x + 1, 3 और 1 वे प्रमुख संख्याएं हैं, इसलिए केवल संभव समाधान (3x + 1) (x + 1) है (आप अभी भी काम की जांच करने के लिए गुणा करना चाहिए, क्योंकि कुछ अभिव्यक्ति वास्तव में कारगर नहीं हो सकती हैं - उदाहरण के लिए, 3x2 + 100x + 1 को कारकों में विभाजित नहीं किया जा सकता।)
  • छवि का शीर्षक फैक्टर टोरोमियाल्स स्टेप 12
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    यह देखने के लिए जांचें कि क्या ट्रिनीमियल एक आदर्श वर्ग है। एक पूर्ण वर्ग ट्रिनीमियल को दो समान द्विपदीय में विघटित किया जा सकता है और कारक आमतौर पर लिखे गए (एक्स + 1)2 (एक्स + 1) (एक्स + 1) के बजाय यहां कुछ वर्ग हैं जो अक्सर समस्याओं में उत्पन्न होते हैं:
  • एक्स2+2x + 1 = (x + 1)2 और एक्स2-2x + 1 = (एक्स 1)2
  • एक्स2+4x + 4 = (x + 2)2 और एक्स2-4x + 4 = (एक्स -2)2
  • एक्स2+6x + 9 = (x + 3)2 और एक्स2-6x + 9 = (एक्स 3)2
  • रूप में एक आदर्श वर्ग ट्रिनीमियल कोएक्स2 + खएक्स + ग वह हमेशा शर्तों है को और ग जो सही सकारात्मक वर्ग हैं (उदाहरण के लिए 1, 4, 9, 16 या 25) और एक शब्द ख (सकारात्मक या नकारात्मक) जो 2 (√a * √c) के बराबर है
  • छवि का शीर्षक फैक्टर टोरोमिअल्स 13 स्टेप
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    जांचें कि क्या कोई समाधान नहीं है नहीं सभी trinomas ध्यान में लिया जा सकता है। यदि आप एक त्रिकोणीय (कुल्हाड़ी पर फंस रहे हैं2 + bx + c), जवाब खोजने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करें। यदि केवल एक नकारात्मक संख्या का वर्गमूल है, तो कोई वास्तविक समाधान नहीं है, इसलिए कोई कारक नहीं हैं।
  • गैर-द्विघात ट्राइनोमा के लिए, ईईस्निस्टीन कसौटी का उपयोग करें, जो सलाह अनुभाग में वर्णित है।

    • उत्तर के साथ उदाहरण समस्याएं

    1. अपघटन के बारे में भ्रामक समस्याओं के उत्तर पाएं हमने उन्हें आसान समस्याओं में पहले से सरल कर दिया है, इसलिए विधि 1 में देखे गए चरणों का उपयोग करके उन्हें हल करने का प्रयास करें, फिर परिणाम यहां देखें:
    2. (2y) (x2 + 7x + 12) = (X + 3) (x + 4)
    3. (एक्स2) (एक्स2 + 11x - 26) = (एक्स + 13) (एक्स -2)
    4. (-1) (एक्स2 - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (एक्स 3)2
    5. अधिक कठिन अपघटन समस्याओं के साथ प्रयास करें ये समस्याएं प्रत्येक शब्द में एक सामान्य कारक होती हैं जिन्हें पहले एकत्र किया जाना चाहिए। जवाब देखने के लिए समान चिह्नों के बाद स्थान को हाइलाइट करें ताकि आप काम की जांच कर सकें:
    6. 3 x 3 + 3 x 2 -6 x = (3x) (x + 2) (एक्स 1) ← जवाब देखने के लिए जगह पर प्रकाश डाला गया
    7. -5x3y2+30x2y2-25y2x = (-5xy ^ 2) (एक्स 5) (एक्स 1)
    8. कठिन समस्याओं के साथ अभ्यास इन समस्याओं को आसान समीकरणों में विघटित नहीं किया जा सकता है, इसलिए प्रतिक्रिया और त्रुटि के लिए (x + _) (_ x + __) के रूप में प्रतिक्रिया की जानी चाहिए:
    9. 2x2+3x-5 = (2x + 5) (एक्स 1) उत्तर को देखने के लिए उजागर करें
    10. 9 x 2 + 6 x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1)2 (सुझाव: 9 x के लिए कुछ कारकों से अधिक प्रयास करना आवश्यक हो सकता है।)

    टिप्स

    • यदि आप समझ नहीं सकते कि कैसे एक द्विघात trinomial को तोड़ने के लिए (कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी), आप एक्स को खोजने के लिए हमेशा द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
    • यद्यपि यह अनिवार्य नहीं है, आप जल्दी से यह निर्धारित करने के लिए Eisenstein मानदंड का उपयोग कर सकते हैं कि एक बहुपद अयोग्य है और विघटित नहीं किया जा सकता है। ये मानदंड किसी भी बहुपद के लिए काम करते हैं, लेकिन वे विशेष रूप से ट्रिनोमा के लिए अच्छे हैं। यदि एक प्राइम पी नंबर है जो पिछले दो शब्दों का एक कारक है और निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है, तो बहुपद अबाधित है:
    • निरंतर शब्द (फार्म कुल्हाड़ी में एक trinomial के लिए2 + बीएक्स + सी, यह सी है) पी का एक बहु है, लेकिन पी नहीं2.
    • प्रारंभिक शब्द (जो कि है) पी के एक बहुमूल्य नहीं है
    • उदाहरण के लिए, यह जल्दी से यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि 14x ^ 9 + 45x ^ 4 + 51 अविनाशी है, 45 और 51 के बाद से, लेकिन 14 नहीं, प्रधान संख्या 3 और 51 के द्वारा विभाज्य 9 से विभाज्य नहीं हैं।

    चेतावनी

    • यद्यपि यह द्विघात के लिए सच है, लेकिन decomposable trinomas आवश्यक नहीं हैं दो binomials के उत्पाद। एक विपरीत उदाहरण x ^ 4 + 105x + 46 = (x ^ 2 + 5x + 2) (x ^ 2 - 5x + 23) है।
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