द्वितीय डिग्री पॉलीनोमियल्स को कारक में कैसे विभाजित किया जाए (द्विघात समीकरण)
एक बहुपक्षीय में एक चर (एक्स) को शक्ति में उठाया जाता है, जिसे "डिग्री" कहा जाता है, और विभिन्न शब्द और / या स्थिरांक। एक बहुपयोगी साधनों को अलग करने से छोटे लोगों में अभिव्यक्ति कम हो जाती है जिन्हें एक साथ गुणा किया जाता है। यह एक ऐसा कौशल है जिसे बीजगणित के पाठ्यक्रम में सीखा जाता है और यह समझना मुश्किल हो सकता है कि आप इस स्तर पर नहीं हैं।
कदम
प्रारंभ
1
अपना अभिव्यक्ति ऑर्डर करें द्विघात समीकरण के लिए मानक प्रारूप है:कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी = 0 अपने समीकरण की शर्तों को सर्वोच्च से सबसे निम्न तक क्रमबद्ध करके प्रारंभ करें, बस मानक प्रारूप की तरह। उदाहरण के लिए, हम लेते हैं:6 + 6x2 + 13x = 0 हम इस अभिव्यक्ति को केवल शब्दों को स्थानांतरित करके पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि इसे हल करना आसान हो।6x2 + 13x + 6 = 0
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नीचे सूचीबद्ध विधियों में से किसी एक का उपयोग करके तथ्यात्मक रूप ढूंढें। बहुपद के अपघटन या फैक्टरिंग के परिणामस्वरूप दो छोटे अभिव्यक्तियां उत्पन्न होंगी जिन्हें मूल बहुपद को वापस करने के लिए गुणा किया जा सकता है:6 x2 + 13 x + 6 = (2 एक्स + 3) (3 x + 2) इस उदाहरण में, (2 x + 3) और (3 x + 2) हैं कारकों मूल अभिव्यक्ति का, 6x2 + 13 x + 6
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अपना काम जांचें! पहचान कारकों गुणा करें उसके बाद, समान शर्तों को गठबंधन करें और आप समाप्त हो जाएंगे के साथ शुरू करें:(2 एक्स + 3) (3 x + 2) हम दूसरी अभिव्यक्ति के साथ प्रत्येक अभिव्यक्ति की प्रत्येक अवधि को गुणा करने की कोशिश करते हैं:6x2 + 4x + 9x + 6 यहां से, हम 4 x और 9 x जोड़ सकते हैं क्योंकि वे सभी समान शब्द हैं। हम जानते हैं कि हमारे कारक सही हैं क्योंकि हमें शुरुआती समीकरण मिलता है:6x2 + 13x + 6
विधि 1
रिट्रीज़ के लिए आगे बढ़ेंयदि आपके पास काफी साधारण बहुपद है, तो आप इसे देखकर कारकों को समझ सकते हैं। उदाहरण के लिए, अभ्यास के साथ, कई गणितज्ञों को यह अभिव्यक्ति पता करने में सक्षम हैं 4 x2 + 4 x + 1 इतनी बार देखने के बाद कारकों (2 x + 1) और (2 x + 1) के रूप में ठीक है (यह स्पष्ट रूप से अधिक जटिल polynomials के साथ आसान नहीं होगा।) इस उदाहरण में हम एक कम आम अभिव्यक्ति का उपयोग करें:
1
हम शब्द `ए` और `सी` शब्द के कारकों की सूची अभिव्यक्ति प्रारूप का उपयोग करना कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0, शब्दों `ए` और `सी` की पहचान करें और उनके पास कौन से कारक हैं 3x के लिए2 + 2x - 8, का अर्थ है:a = 3 और कई कारक हैं: 1 * 3 सी = -8 और चार कारक हैं: 4 * -2, -4 * 2, -8 * 1 और -1 * 8
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रिक्त स्थान के साथ दो सेट ब्रैकेट लिखें आप प्रत्येक अभिव्यक्ति में छोड़े गए स्थान के भीतर आप स्थिरांक दर्ज कर सकते हैं:(एक्स) (एक्स)
3
मूल्य `ए` के संभावित कारकों के साथ एक्स के सामने रिक्त स्थान भरें। हमारे उदाहरण में `ए` शब्द के लिए, 3 x2, केवल एक संभावना है:(3x) (1x)
4
स्थिरता के लिए कुछ कारकों के साथ एक्स के बाद दो स्थान भरें। मान लीजिए आपने 8 और 1 को चुना है। उन्हें लिखें:(3x 8) (एक्स 1)
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यह तय करें कि कौन सी चिह्न (प्लस या माइनस) वेरिएबल्स एक्स और नंबर के बीच होना चाहिए। मूल अभिव्यक्ति के संकेतों के अनुसार, यह समझना संभव है कि स्थिरांक के लक्षण क्या होने चाहिए। हम अपने दो कारकों के लिए `ह` और `क` दो स्थिरांक कहेंगे:अगर कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी तो (एक्स + एच) (एक्स + के) अगर कुल्हाड़ी2 - बीएक्स - सी या कुल्हाड़ी2 + बीएक्स - सी तो (एक्स - एच) (एक्स + के) अगर कुल्हाड़ी2 - बीएक्स + सी तो (एक्स - एच) (एक्स - कश्मीर) हमारे उदाहरण के लिए, 3x2 + 2x - 8, लक्षण होना चाहिए: (एक्स - एच) (एक्स + के), दो कारकों के साथ:(3x + 8) और (एक्स -1)
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शब्दों की गुणात्मकता का उपयोग करके अपनी पसंद का प्रयास करें प्रदर्शन करने के लिए एक त्वरित परीक्षण यह देखना है कि कम से कम औसत शब्द सही मूल्य का है। अगर ऐसा नहीं है, तो आपने गलत कारकों को चुना हो सकता है हम अपनी प्रतिक्रिया की जांच करते हैं:(3 x + 8) (एक्स -1) गुणा करना, हम प्राप्त करते हैं:3 x 2 - 3 x + 8x - 8 (-3x) और (8x) जैसे शब्दों को जोड़कर इस अभिव्यक्ति को सरल करके, हम प्राप्त करते हैं:3 x2 - 3 x + 8x - 8 = 3 x2 + 5 x - 8 अब हम जानते हैं कि हमें गलत कारकों की पहचान करनी होगी:3x2 + 5x - 8 ≠ 3x2 + 2x - 8
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यदि आवश्यक हो तो अपने विकल्पों का उलट करें हमारे उदाहरण में, 1 और 8 के स्थान पर 2 और 4 के साथ प्रयास करें:(3 x + 2) (एक्स -4) अब हमारे शब्द ग एक -8 है, लेकिन हमारे बाहरी / आंतरिक उत्पाद (3x * -4) और (2 * x) -12 x और 2x, जो शब्द को सही बनाने के लिए गठबंधन नहीं करते ख +2x।-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x
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यदि आवश्यक हो तो आदेश को उलटाएं चलो 2 और 4 की कोशिश कर रहे हैं:(3x + 4) (एक्स -2) अब हमारे शब्द ग (4 * 2 = 8) अभी भी ठीक है, लेकिन बाह्य / आंतरिक उत्पाद -6x और 4x हैं अगर हम उन्हें गठबंधन करते हैं:-6x + 4x = 2x 2x ≠ -2x हम उन 2x के करीब हैं जो हम लक्ष्य कर रहे थे, लेकिन संकेत गलत है।
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यदि आवश्यक हो तो फिर संकेतों की जांच करें। चलो एक ही क्रम में जाते हैं, लेकिन कम से कम एक को उलटा दें:(3x - 4) (एक्स + 2) अब शब्द ग यह अभी भी ठीक है और बाहरी / आंतरिक उत्पाद अब (6x) और (-4 x) हैं क्योंकि:6x - 4x = 2x 2x = 2x अब हम मूल पाठ से पहचान सकते हैं जो 2x सकारात्मक है वे सही कारक होना चाहिए
विधि 2
ब्रेकडाउनयह पद्धति `ए` और `सी` के सभी संभावित कारकों को पहचानती है और इन्हें समझने के लिए उनका उपयोग करता है कि कारकों को क्या होना चाहिए। यदि संख्या बहुत बड़ी है या यदि अन्य अनुमान बहुत अधिक समय लगते हैं, तो इस पद्धति का उपयोग करें। हम उदाहरण का उपयोग करते हैं:
1
शब्द को गुणा करें को शब्द के साथ ग. इस उदाहरण में, को यह 6 ई है ग यह अभी भी 6 है6 * 6 = 36
2
अपघटन और कोशिश करने के साथ `बी` शब्द का पता लगाएं। हम दो नंबरों की तलाश कर रहे हैं जो `ए` * `सी` उत्पाद के कारक हैं जिन्हें हमने पहचान लिया है और शब्द `बी` (13) शब्द जोड़ते हैं।4 * 9 = 36 4 + 9 = 13
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`बी` शब्द के योग के रूप में समीकरण में प्राप्त दो नंबरों को बदलें हमने 4 और 9 प्राप्त किए गए दो नंबरों का प्रतिनिधित्व करने के लिए `के` और `एच` का प्रयोग किया है:कुल्हाड़ी2 + केएक्स + एचएक्स + सी 6x2 + 4x + 9x + 6
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हम समूह के साथ बहुपद का कारक बनाते हैं समीकरण को व्यवस्थित करें ताकि आप पहले दो शब्दों और पिछले दो के बीच सबसे बड़ा सामान्य कारक निकाल सकें। शेष दोनों तथ्यात्मक समूहों को समान होना चाहिए। अधिकतम सामान्य डिवाइडर को एक साथ रखो और उन तथ्यों वाले समूह के बगल में कोष्ठक में संलग्न करें- परिणाम आपके दो कारकों द्वारा दिया जाएगा:6x2 + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2)
विधि 3
ट्रिपल गेमअपघटन पद्धति के समान, `ट्रिपल गेम` विधि `सी` के लिए उत्पाद `ए` के संभावित कारकों की जांच करता है और उन्हें समझने के लिए उपयोग करता है कि `बी` क्या होना चाहिए। इस उदाहरण समीकरण पर विचार करें:
1
`ए` शब्द को `सी` के साथ गुणा करें अपघटन पद्धति के साथ, यह हमें `बी` शब्द के लिए संभावित उम्मीदवारों की पहचान करने में मदद करेगा इस उदाहरण में, `ए` 8 और `सी` 2 है8 * 2 = 16
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एक संख्या के रूप में यह मान दो नंबर प्राप्त करें और एक शब्द के रूप में शब्द `बी` यह चरण अपघटन पद्धति के समान है - हम संभावित निरंतर मानों का परीक्षण कर रहे हैं और बाहर कर रहे हैं। `ए` और `सी` शब्द का उत्पाद 16 है और राशि 10 है:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10
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इन दो नंबरों को लें और उन्हें `ट्रिपल गेम` फार्मूले में बदलने की कोशिश करें। पिछले बीतने से हमारे दो नंबर लें - चलो उन्हें `एच` और `के` कहते हैं - और उन्हें इस अभिव्यक्ति में रखें:(कुल्हाड़ी + एच) (कुल्हाड़ी + के)) / a इस बिंदु पर हम प्राप्त करेंगे:((8x + 8) (8x + 2)) / 8
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देखें कि अंश में दो पदों में से कोई एक `ए` से विभाज्य है या नहीं। इस उदाहरण में, हम जांच कर रहे हैं कि 8 (8 + 8) या (8 x + 2) को 8 से विभाजित किया जा सकता है। (8 x + 8) 8 से विभाज्य है, तो आइए इसे `a` से बांटें और दूसरे को छोड़ दें जैसा कि यह है(8 x + 8) = 8 (x + 1) पाया गया शब्द `ए` के लिए शब्द को विभाजित करने के बाद क्या रहता है: (x + 1)
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अधिकतम सामान्य विभाजक को एक या दोनों शब्दों से निकालें, अगर यह मौजूद है इस उदाहरण में, दूसरी अवधि में 2 का एक एमसीडी है, क्योंकि 8 x + 2 = 2 (4x + 1) इस उत्तर को पिछले चरण में पहचाने गए शब्द के साथ जोड़ लें। ये आपके समीकरण के कारक हैं2 (एक्स + 1) (4x + 1)
विधि 4
दो वर्गों का अंतरबहुपदों के कुछ गुणांक को `वर्ग` या दो नंबर के उत्पाद के रूप में पहचाना जा सकता है। इन वर्गों की पहचान करने से आप कुछ बहुपदों के अपघटन को बहुत तेज़ बना सकते हैं। समीकरण पर विचार करें:
1
यदि संभव हो तो अधिकतम सामान्य विभाजक निकालें। इस स्थिति में, हम देख सकते हैं कि 27 और 12 दोनों विभाज्य 3 से हैं, इसलिए हम मिलेंगे:27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
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यह जांचने की कोशिश करें कि क्या आपके समीकरण के गुणांक वर्ग हैं इस पद्धति का उपयोग करने के लिए आपको सही वर्गों का वर्गमूल बनाने में सक्षम होना चाहिए। (ध्यान दें कि हम नकारात्मक संकेतों को छोड़ देते हैं - चूंकि ये संख्याएं वर्ग हैं, उन्हें दो नकारात्मक संख्याओं या दो सकारात्मक संख्याओं द्वारा उत्पादित किया जा सकता है)9x2 = 3x * 3x और 4 = 2 * 2
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पाया वर्ग की जड़ें का उपयोग करना, कारकों को लिखें। हम अपने पिछले मार्ग से `ए` और `सी` मान लेते हैं, `ए` = 9 और `सी` = 4, जिसके बाद हम अपने वर्ग की जड़ों पाते हैं, √ `ए` = 3 और `सी` = 2 ये सरलीकृत अभिव्यक्तियों के गुणांक हैं:27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
विधि 5
द्विघात सूत्रअगर सब कुछ विफल हो जाता है और समीकरण विघटित नहीं किया जा सकता है, तो द्विघात सूत्र का उपयोग करें। उदाहरण पर गौर करें:
1
द्विघात सूत्र में संबंधित मान दर्ज करें:एक्स = -बी ± √ (बी2 - 4 एसी) --------------------- 2 ए हम अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:x = -4 ± √ (42 - 4 • 1 • 1) / 2
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एक्स को हल करें आपको दो एक्स मूल्य मिलना चाहिए जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, हमें दो उत्तर मिलते हैं:x = -2 + √ (3) और भी x = 2 - √ (3)
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कारकों को खोजने के लिए एक्स के मूल्य का उपयोग करें एक्स के मूल्य दर्ज करें जैसे कि वे दो बहुपद अभिव्यक्तियों में स्थिर थे। ये आपके कारक होंगे अगर हम अपने दो उत्तर `एच` और `के` कॉल करते हैं, तो दो कारकों को इस तरह लिखें:(एक्स - एच) (एक्स - के) इस मामले में, यह हमारा निश्चित जवाब है:(एक्स - (-2 + √ (3)) (एक्स - (-2 - √ (3)) = (एक्स + 2 - √ (3)) (एक्स + 2 + √ (3))
विधि 6
कैलकुलेटर का उपयोग करेंयदि आप एक ग्राफिंग कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए अधिकृत हैं, तो यह अपघटन प्रक्रिया बहुत आसान बनाता है, खासकर मानकीकृत परीक्षणों पर। ये निर्देश टेक्सास इंस्ट्रूमेंट्स के ग्राफिंग कैलकुलेटर के लिए हैं। हम उदाहरण समीकरण का उपयोग करते हैं:
1
स्क्रीन पर समीकरण दर्ज करें [Y =]।
2
कैलकुलेटर का इस्तेमाल करते हुए समीकरण का रुझान बनाएं। एक बार जब आप अपना समीकरण डालते हैं, तो [GRAPH] दबाएं: आपको समीकरण का प्रतिनिधित्व करने वाला एक निरंतर चाप दिखना चाहिए (और जब हम बहुपदों के साथ काम कर रहे हैं तो यह एक चाप होगा)।
3
खोजें जहां चाप एक्स अक्ष को छेदता है। क्योंकि बहुपद समीकरण पारंपरिक रूप से कुल्हाड़ी के रूप में लिखा जाता है2 + bx + c = 0, ये एक्स के दो मान हैं, जो शून्य के बराबर अभिव्यक्ति बनाते हैं:(-1, 0), (2, 0) x = -1, x = 2
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दो तथ्यात्मक अभिव्यक्तियों में पहले प्राप्त एक्स मूल्यों को दर्ज करें। अगर हम एक्स `एच` और `के` के दो मूल्यों को कहते हैं, तो हम जिस अभिव्यक्ति का उपयोग करेंगे, वह होगा:(एक्स - एच) (एक्स - के) = 0 इस प्रकार, हमारे दो कारक होने चाहिए:(एक्स - (-1)) (एक्स - 2) = (एक्स + 1) (एक्स - 2)
टिप्स
- यदि आपके पास एक TI-84 कैलकुलेटर है, तो एक प्रोग्राम है जिसे सॉल्वर कहते हैं, जो कि द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं। वह प्रत्येक डिग्री के बहुपदों को हल करने में सक्षम होंगे
- एक गैर-विद्यमान अवधि का गुणांक 0 है। यदि यह मामला है, तो यह समीकरण को फिर से लिखना उपयोगी हो सकता है।
एक्स2 + 6 = एक्स2 + 0x + 6 - यदि आप द्विपद सूत्र का उपयोग करके एक बहुपद का अनुमान लगाया है और परिणाम में एक कट्टरपंथी है, तो आप परिणाम के सत्यापन के लिए एक्स के मूल्यों को भिन्नों में बदल सकते हैं।
- यदि किसी शब्द का कोई गुणांक नहीं है, तो 1 निहित है
एक्स2 = 1x2 - अंत में, आप मानसिक रूप से जाने की कोशिश करेंगे उस समय तक, लिखित में यह बेहतर होगा।
चेतावनी
- यदि आप स्कूल में इस अवधारणा को सीख रहे हैं, तो ध्यान दें कि आपका शिक्षक आपको सिखाता है। सिर्फ अपनी पसंदीदा विधि का उपयोग न करें एक परीक्षा में, आपका शिक्षक एक निश्चित विधि का उपयोग करने के लिए अनुरोध कर सकता है या ग्राफ़िंग कैलकुलेटर के उपयोग की अनुमति नहीं दे सकता है।
आप की आवश्यकता होगी चीजें
- एक पेंसिल
- एक शीट
- एक द्विघात समीकरण (या दूसरी डिग्री बहुपद)
- एक रेखांकन कैलकुलेटर (वैकल्पिक)
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