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द्विघात सूत्र कैसे प्राप्त करें

एक बीजगणित छात्र के लिए सबसे महत्वपूर्ण सूत्रों में से एक है द्विघात एक, जो कि है एक्स = (- बी ± √ (बी 2 - 4 एसी)) / 2 ए

. इस फार्मूले के साथ, द्विघात समीकरण को हल करने के लिए (रूप कुल्हाड़ी में समीकरण2 + bx + c = 0) बस ए, बी और सी के मूल्यों को स्थानांतरित करें हालांकि यह अक्सर पर्याप्त है जानना ज्यादातर लोगों के लिए सूत्र, समझना यह कैसे बनाया गया था एक और बात है वास्तव में, सूत्र को एक उपयोगी तकनीक कहा जाता है जिसे कहा जाता है "वर्ग के पूरा होने" जिसमें अन्य गणितीय अनुप्रयोग भी हैं

कदम

विधि 1

फॉर्मूला प्राप्त करें
द्विआधारी फॉर्मूला चरण 1 को प्राप्त करें
1
द्विघात समीकरण से प्रारंभ करें सभी द्विघात समीकरणों का रूप है कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी = 0. द्विघात सूत्र प्राप्त करना शुरू करने के लिए, बस इस सामान्य समीकरण को कागज के एक टुकड़े पर लिखें, इसके नीचे बहुत सारे स्थान छोड़ दें। किसी भी नंबर को न बदलें ए, बी, या ग - आप समीकरण के सामान्य रूप से काम करेंगे।
  • शब्द "द्विघात" इस तथ्य को संदर्भित करता है कि शब्द x स्क्वायर है। Coefficients जो कुछ भी के लिए इस्तेमाल किया ए, बी, और ग, यदि आप सामान्य द्विपद रूप में एक समीकरण लिख सकते हैं, तो यह एक द्विघात समीकरण है। इस नियम का एकमात्र अपवाद है "को" = 0 - इस मामले में, क्योंकि एक्स शब्द अब मौजूद नहीं है2, समीकरण अब द्विघात नहीं है
  • व्युत्पन्न छवि को द वर्डेटिक फॉर्मूला चरण 2
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    के लिए दोनों तरफ विभाजित "को"। द्विघात सूत्र प्राप्त करने के लिए, लक्ष्य को अलग करना है "एक्स" बराबर चिह्न के एक तरफ ऐसा करने के लिए, हम की तकनीक का उपयोग करेंगे "रद्द करना" बीजगणित का आधार, धीरे-धीरे बराबर चिह्न के दूसरी तरफ से बाकी सभी चर को स्थानांतरित करने के लिए। हम अपने चर के लिए समीकरण के बाईं तरफ बस से शुरू करते हैं "को"। इसे पहली पंक्ति के नीचे लिखें
  • जब आप दोनों पक्षों को विभाजित करते हैं "को", डिवीजनों की बांट देने वाली संपत्ति को मत भूलना, जिसका अर्थ है कि एक के लिए समीकरण की संपूर्ण बाईं ओर विभाजित करना व्यक्तिगत रूप से शब्दों को विभाजित करना है
  • यह हमें देता है एक्स2 + (बी / ए) एक्स + सी / ए = 0. ध्यान दें कि जो एक शब्द को एक्स को गुणा करता है2 हटा दिया गया है और समीकरण का सही पक्ष अभी भी शून्य है (शून्य शून्य से शून्य शून्य संख्या शून्य है)।
  • व्युत्पन्न छवि द वर्डेटिक फॉर्मूला चरण 3
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    घटाना ग / एक दोनों पक्षों पर अगले चरण के रूप में, समीकरण के बाईं ओर से गैर-एक्स (सी / ए) शब्द को हटा दें। यह करना आसान है - बस इसे दोनों पक्षों से घटाना
  • ऐसा करने में यह बनी हुई है एक्स2 + (बी / ए) एक्स = -सी / ए. हमारे पास अभी भी बाईं तरफ x में दो शब्द हैं, लेकिन समीकरण का सही पक्ष वांछित आकार लेना शुरू कर रहा है।
  • व्युत्पन्न छवि का शीर्षक द्विघात फॉर्मूला चरण 4
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    योग बी2/ 4a2 दोनों पक्षों पर यहां चीज़ें अधिक जटिल हो जाती हैं हमारे पास एक्स में दो अलग-अलग शब्द हैं - एक स्क्वायर और एक सरल - समीकरण के बाईं तरफ। पहली नज़र में, सरल लगना संभव नहीं दिखता क्योंकि बीजगणित के नियमों में हमें भिन्न परिभाषाओं के साथ चर शब्दों को प्रस्तुत करने से रोका जा सकता है। एक "शॉर्टकट" हालांकि, कॉल करें "वर्ग के पूरा होने" (जो हम शीघ्र ही चर्चा करेंगे) हमें समस्या को हल करने की अनुमति देता है।
  • वर्ग को पूरा करने के लिए, राशि बी2/ 4a2 दोनों पक्षों पर याद रखें कि बीजगणित के बुनियादी नियमों ने हमें समानता के एक तरफ से लगभग कुछ भी जोड़ने की अनुमति दी है, जब तक हम दूसरे तत्व को एक ही तत्व जोड़ते हैं, तो यह पूरी तरह से मान्य ऑपरेशन है। आपका समीकरण अब इस प्रकार दिखना चाहिए: एक्स2+(बी / ए) x + b2/ 4a2 = -सी / ए + बी2/ 4a2.
  • वर्ग कार्यों के पूरा होने के बारे में अधिक विस्तृत चर्चा के लिए, निम्न अनुभाग पढ़ें।
  • व्युत्पन्न छवि द वर्डेटिक फॉर्मूला चरण 5
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    समीकरण के बाईं ओर फैक्टरोइज़ करता है। अगले कदम के रूप में, हम जो जटिलता को जोड़ते हैं, उसके प्रबंधन के लिए, चलो बस एक सवारी के लिए समीकरण के बाईं तरफ ध्यान केंद्रित करें। बाईं तरफ इस तरह दिखना चाहिए: एक्स2+(बी / ए) x + b2/ 4a2. अगर हम इसके बारे में सोचते हैं "(बी / ए)" और "ख2/ 4a2" एक साधारण गुणांक के रूप में "घ" और "और"वास्तव में, हमारे समीकरण में क्रमशः x है2 + dx + e, और इसलिए (x + f) में कारगर हो सकता है2, जहां एफ डी के 1/2 और ई का वर्गमूल है।
  • हमारे उद्देश्यों के लिए, इसका अर्थ है कि हम समीकरण के बाईं ओर, x को कारक सकते हैं2+(बी / ए) x + b2/ 4a2, में (एक्स + (बी / 2 ए))2.
  • हम जानते हैं कि यह मार्ग सही है क्योंकि (एक्स + (बी / 2 ए))2 = x2 + 2 (बी / 2 ए) एक्स + (बी / 2 ए)2 = x2+(बी / ए) x + b2/ 4a2, मूल समीकरण
  • तथ्य यह है कि बीजगणित की एक महत्वपूर्ण तकनीक है जो बहुत जटिल हो सकती है। फर्कराइजेशन क्या है और इस तकनीक को कैसे लागू किया जाए, इसके बारे में अधिक गहराई से स्पष्टीकरण के लिए, आप इंटरनेट या विकीहेव पर खोज सकते हैं।
  • व्युत्पन्न छवि का शीर्षक द्विघात फॉर्मूला चरण 6
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    आम विभाजक 4 ए का उपयोग करें2 समीकरण के दाईं ओर के लिए चलो समीकरण के जटिल बाएं ओर से थोड़े समय का ब्रेक लेते हैं और दाईं ओर दिए गए शब्दों के लिए एक आम विभाजक पाते हैं। दायीं ओर आंशिक शब्दों को सरल बनाने के लिए, हमें इस छोर को खोजना होगा।
  • यह एक बहुत ही सरल ऑपरेशन है - बस -4 / 4 ए पाने के लिए 4 ए / 4 ए द्वारा गुणा-सी / ए गुणा करें2. अब, सही पर स्थितियां होनी चाहिए -4ac / 4a2 + ख2/ 4a2.
  • ध्यान दें कि ये शर्तें समान निगोशिएटर 4 ए साझा करती हैं2, इसलिए हम उन्हें प्राप्त करने के लिए जोड़ सकते हैं (ख2 - 4ac) / 4a2.
  • याद रखें कि हमें समीकरण के दूसरी तरफ इस गुणन को दोहराना नहीं है। यह देखते हुए कि गुणा 4 ए द्वारा / 4 ए (किसी भी गैर शून्य संख्या अपने आप में विभाजित 1 के बराबर है) 1 से गुणा करने के लिए कैसे, हम समीकरण के मूल्य नहीं बदल रहे हैं, तो यह आवश्यक बाईं ओर के लिए क्षतिपूर्ति करने के लिए नहीं है।
  • व्युत्पन्न छवि का शीर्षक द्विघात फॉर्मूला चरण 7
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    प्रत्येक पक्ष के वर्गमूल की गणना करें सबसे खराब खत्म हो चुका है! आपका समीकरण अब इस प्रकार दिखना चाहिए: (एक्स + बी / 2 ए)2) = (बी2 - 4ac) / 4a2). चूंकि हम बराबर चिह्न के एक तरफ x को अलग करने की कोशिश कर रहे हैं, इसलिए हमारा अगला कार्य दोनों पक्षों के वर्गमूल की गणना करना है।
  • ऐसा करने में यह बनी हुई है एक्स + बी / 2 ए = ± √ (बी2 - 4ac) / 2 ए. ± साइन न भूलें - यहां तक ​​कि नकारात्मक संख्या भी चुकती हो सकती हैं।
  • व्युत्पन्न छवि, द वर्डेटिक फॉर्मूला चरण 8



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    घटाना बी / 2 ए दोनों पक्षों से समाप्त करने के लिए इस बिंदु पर, एक्स लगभग अकेला है! अब, जो कुछ भी रहता है, इसे पूरी तरह से अलग करने के लिए दोनों पक्षों से शब्द बी / 2 ए घटाना है एक बार समाप्त होने पर, आपको इसे प्राप्त करना चाहिए एक्स = (-बी ± √ (बी2 - 4ac)) / 2 ए. क्या यह परिचित लग रहा है? बधाई! आपको द्विघात सूत्र मिलता है!
  • चलिए इस आखिरी चरण के आगे विश्लेषण करें। दोनों पक्षों से बी / 2 ए घटाकर हमें एक्स = ± √ (बी2 - 4ac) / 2 ए - बी / 2 ए दोनों बी / 2 ए और √ से (बी2 - 4ac) / 2 ए में आम भाजक 2 ए है, हम उन्हें जोड़ सकते हैं, ± √ प्राप्त कर सकते हैं (बी2 - 4ac) - बी / 2 ए या, पढ़ने के सरल शब्दों के साथ, (-बी ± √ (बी2 - 4ac)) / 2 ए.

    • विधि 2

    इस तकनीक को जानें "स्क्वायर का समापन"
    क्रीमेटिक फॉर्मूला चरण 9 से उत्पन्न छवि शीर्षक
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    समीकरण से शुरू करें (x + 3)2 = 1 यदि आपको नहीं पता कि पढ़ना शुरू करने से पहले द्विघात सूत्र कैसे प्राप्त करना है, तो संभवतः आप अभी भी थोड़ा-बहुत उलझन में हैं "वर्ग के पूरा होने" पिछले प्रदर्शन में चिंता न करें - इस खंड में, हम ऑपरेशन का अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे। चलो एक पूरी तरह से कारगर बहुपद समीकरण के साथ शुरू: (एक्स + 3)2 = 1. निम्नलिखित चरणों में, हम इस सरल उदाहरण समीकरण का उपयोग समझने के लिए करेंगे कि हमें इसका उपयोग क्यों करना चाहिए "वर्ग के पूरा होने" द्विघात सूत्र प्राप्त करने के लिए
  • व्युत्पन्न छवि का शीर्षक द्विघात फॉर्मूला चरण 10
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    एक्स के लिए हल करें समाधान (x + 3)2 एक्स के लिए = 1 काफी सरल है - दोनों पक्षों के वर्गमूल की गणना करें, फिर एक्स से अलग करने के लिए दोनों से घटाएँ चरण विवरण के बाद एक कदम के लिए पढ़ें:
  • (एक्स + 3)2 = 1
    (एक्स + 3) = √ 1
    x + 3 = ± 1
    x = ± 1-3
    x = -2, -4
  • व्युत्पन्न छवि का शीर्षक द्विघात फॉर्मूला चरण 11
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    समीकरण का विस्तार करें हमने एक्स के लिए हल किया है, लेकिन हमने अभी तक पूरा नहीं किया है। अब, "हम खोलने" समीकरण (x + 3)2 = 1 लंबे रूप में लिख रहा है, इस तरह: (x + 3) (x + 3) = 1. अब इस समीकरण का विस्तार करें, ब्रैकेट में शब्दों को गुणा करें। वितरण गुणक संपत्ति से, हमें पता है कि हमें इस क्रम में गुणा करना होगा: पहला नियम, फिर बाहरी शब्द, फिर आंतरिक शब्दों और अंत में अंतिम शब्द
  • गुणन में यह विकास है:
    (एक्स + 3) (एक्स + 3)
    (x × x) + (x × 3) + (3 × x) + (3 × 3)
    एक्स2 + 3x + 3x + 9
    एक्स2 + 6x + 9
  • द्विआधारी फॉर्मूला चरण 12 को प्राप्त करें
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    समीकरण को द्विघात रूप में परिवर्तित करें अब हमारा समीकरण इस तरह दिखता है: एक्स2 + 6x + 9 = 1. ध्यान दें कि यह एक द्विघात समीकरण के समान है। पूर्ण द्विघात रूप प्राप्त करने के लिए, हमें केवल दोनों पक्षों में से एक को घटाना होगा। तो हम मिलते हैं एक्स2 + 6x + 8 = 0.
  • क्रीमेटिक फॉर्मूला चरण 13 को प्राप्त करें
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    के सारांश यह करते हैं। चलो हम पहले से ही क्या जानते हैं की समीक्षा करें:
  • समीकरण (x + 3)2 = 1 में एक्स: -2 और -4 के लिए दो समाधान हैं।
  • (एक्स + 3)2 = 1 एक्स के बराबर है x2 + 6x + 9 = 1, जो x के बराबर है2 + 6x + 8 = 0 (एक द्विघात समीकरण)।
    इस प्रकार, द्विघात समीकरण x2 + एक्स के लिए समाधान के रूप में 6x + 8 = 0 हा -2 और -4 यदि हम एक्स के लिए इन समाधानों को प्रतिस्थापित करते हुए सत्यापित करते हैं, तो हम हमेशा सही परिणाम (0) प्राप्त करते हैं, इसलिए हम जानते हैं कि ये सही समाधान हैं
  • व्युत्पन्न छवि द वर्डेटिक फॉर्मूला चरण 14
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    की सामान्य तकनीकों को जानने के लिए जानें "वर्ग के पूरा होने"। जैसा कि हमने पहले देखा था, उन्हें एक्सरे (ए + ए) में लाने के द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना आसान है।2 = बी हालांकि, इस सुविधाजनक रूप में द्विघात समीकरण ले जाने में सक्षम होने के लिए, हमें समीकरण के दोनों किनारों को एक संख्या घटाना होगा या जोड़ना होगा। अधिक सामान्य मामलों में, x के रूप में द्विघात समीकरणों के लिए2 + बीएक्स + सी = 0, सी बराबर होना चाहिए (बी / 2)2 समीकरण को क्यों समझा जा सकता है (एक्स + (बी / 2))2. यदि नहीं, तो इस परिणाम को प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों के नंबरों को जोड़कर घटाएं। इस तकनीक को कहा जाता है "वर्ग के पूरा होने", और यही ठीक है कि हमने द्विघात सूत्र प्राप्त करने के लिए किया।
  • यहां द्विघात समीकरण फैक्टरिंग के अन्य उदाहरण दिए गए हैं - ध्यान दें कि प्रत्येक शब्द में "ग" यह शब्द के समान है "ख" दो विभाजित, चुकता
    एक्स2 + 10x + 25 = 0 = (एक्स + 5)2
    एक्स2 - 18x + 81 = 0 = (एक्स + -9)2
    एक्स2 + 7x + 12.25 = 0 = (एक्स + 3.5)2
  • यहां एक द्विघात समीकरण का उदाहरण दिया गया है जहां शब्द "ग" यह आधी अवधि के बराबर नहीं है "ख" चुकता। इस मामले में, हमें वांछित समानता प्राप्त करने के लिए प्रत्येक पक्ष में जोड़ना चाहिए - दूसरे शब्दों में, हमें चाहिए "वर्ग को पूरा करें"।
    एक्स2 + 12x + 29 = 0
    एक्स2 + 12x + 29 + 7 = 0 + 7
    एक्स2 + 12x + 36 = 7
    (एक्स + 6)2 = 7

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    • कागज और पेन
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