कैसे एक घन समीकरण हल करने के लिए

फैक्टर एक एक्स समीकरण से बाहर चूंकि समीकरण में कोई स्थिरता नहीं है, इसलिए समीकरण के प्रत्येक शब्द में एक चर है एक्स. इसका अर्थ है कि एक एक्स इसे सरल बनाने के लिए समीकरण के बाहर कारकों में विघटित किया जा सकता है इसे करें और रूप में समीकरण को दोबारा लिखें एक्स(कुल्हाड़ी² + bx + ग)।

ब्रैकेट में अनुभाग को हल करने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करें। आप यह देख पाएंगे कि ब्रैकेट में निहित नए समीकरण का खंड एक द्विघात समीकरण के आकार से मेल खाता है (कुल्हाड़ी² + bx + ग)। इसका अर्थ है कि हम उन मूल्यों को पा सकते हैं जिनके लिए दूसरी डिग्री का यह समीकरण डालने से 0 के बराबर होता है ए, बी और ग द्विघात सूत्र में ({-ख +/ -√ (ख²- 4एसी)} / 2को)। अपने क्यूबिक समीकरण के दो समाधान खोजने के लिए इसे करें

शून्य और क्यूबिक समीकरण के समाधान के रूप में द्विघात समीकरण के समाधान का उपयोग करें। यदि द्विघात समीकरणों के दो समाधान होते हैं, तो तीसरे (घन) के तीन होते हैं आपने पहले से ही दो अनुभाग प्राप्त किए हैं "द्विघात" ब्रैकेट्स में और, ऐसे मामलों में जहां घन को इस पद्धति से सुलझाया जा सकता है "कारक टूटने", तीसरे समाधान हमेशा होगा 0. बधाई हो, आपने सिर्फ क्यूबिक का हल किया है

के कारकों का पता लगाएं को और घ. घन को हल करने के लिए, के कारकों को खोजने के लिए शुरू को (शब्द का गुणांक एक्स³) ई घ (समीकरण के अंत में स्थिर)। एक त्वरित अनुस्मारक के रूप में, कारक संख्याएं हैं जिन्हें आप दूसरे नंबर के रूप में एक साथ गुणा कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, जब आप 6 गुणा करके 6 प्राप्त कर सकते हैं &समय 1 और 2 × 3, 1, 2, 3 और 6 6 के कारक हैं

के कारकों को विभाजित करें को उन लोगों के लिए घ. इसके बाद, प्रत्येक कारक को विभाजित करके प्राप्त मूल्यों की एक सूची लिखें को प्रत्येक कारक के लिए घ. आम तौर पर परिणाम में कई अंश और कुछ पूर्ण संख्याएं होती हैं। क्यूबिक समीकरण के पूरे समाधान इस सूची में से कुछ होंगे, या उनके संबंधित नकारात्मक होंगे।

Ruffini नियम का उपयोग करें या समाधान एक करके एक जांचें एक बार आपके पास मूल्यों की सूची उपलब्ध हो जाने के बाद, आप घन समीकरण का पूरा समाधान जल्दी से पा सकते हैं, प्रत्येक पूर्णांक संख्या को समीकरण में मैन्युअल रूप से सम्मिलित कर सकते हैं और यह पता लगा सकते हैं कि किन शून्य क्षति हालांकि, अगर आप इसे करने में बहुत अधिक समय खर्च नहीं करना चाहते हैं, तो इसका मतलब है कि थोड़ी तेज़ तरीका है रूफिनी के नियम नामक एक प्रक्रिया. मूलतः, आपको मूल गुणांकों के लिए मिले गुणों को संक्षिप्त रूप से विभाजित करना होगा ए, बी, सी और घ घन समीकरण में यदि आप शेष के रूप में 0 प्राप्त करते हैं, तो मान क्यूबिक समीकरण के समाधानों में से एक को दर्शाता है।

गणना करें Δ0 = ख² - 3एसी. भेदभावपूर्ण पद्धति के लिए कुछ जटिल गणना की आवश्यकता है, लेकिन अगर आप इस प्रक्रिया का ध्यानपूर्वक पालन करते हैं तो आप इसे अन्य तरीकों से हल करने वाले सबसे कठिन क्यूबिक समीकरणों के समाधान ढूंढने के लिए एक बहुमूल्य उपकरण पाएंगे। शुरू करने के लिए, सूत्र में उचित मूल्यों को दर्ज करके, आपको आवश्यक महत्वपूर्ण मात्रा में से पहले, Δ0 ढूंढें ख² - 3एसी.

गणना करें Δ1 = 2ख³ - 9एबीसी + 27को²घ. अगले प्रमुख मात्रा की आवश्यकता है, Δ1, को थोड़ी अधिक काम की आवश्यकता है, लेकिन अनिवार्यतः Δ0 के समान है। अभिव्यक्ति 2 में उचित मान दर्ज करेंख³ - 9एबीसी + 27को²घ Δ1 का मूल्य प्राप्त करने के लिए

गणना करें Δ = Δ1² - 4Δ0³) ÷ -27को². बाद में, हम गणना करेंगे विशेषक Δ0 और Δ1 के मूल्यों से शुरू होने वाले घन का एक भेदभाव केवल एक संख्या है जो हमें एक बहुपक्षीय की जड़ों के बारे में जानकारी प्रदान करता है (आप पहले से ही अज्ञात रूप से द्विघात भेदभाव को जानते हैं: ख² - 4एसी)। एक घन के मामले में, यदि भेदभाव सकारात्मक है, तो समीकरण के तीन वास्तविक समाधान हैं। यदि यह शून्य है, तो समीकरण में एक या दो वास्तविक समाधान हैं, और उनमें से कुछ समाधान साझा किए जाते हैं। हालांकि यह ऋणात्मक है, समीकरण में केवल एक समाधान होगा (एक घन समीकरण हमेशा कम से कम एक वास्तविक समाधान होता है क्योंकि ग्राफ़ हमेशा अक्षरों के अक्ष को पार करेगा एक्स कम से कम एक बार)

की गणना करता है सी = ³√ (√ ((Δ1² - 4Δ0³) + Δ1) / 2) अंतिम महत्वपूर्ण मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है सी. यह महानता आखिरकार हमें तीनों जड़ों को खोजने की इजाजत देगी। सामान्य रूप से Δ1 और Δ0 जहां आवश्यक दर्ज करके सुलझाएं।