बहुपद को विभाजित कैसे करें

बहुपदों को संख्यात्मक स्थिरांक के रूप में विभाजित किया जा सकता है, या तो कमजोर पड़ने या लंबी विभाजन द्वारा। जिस विधि का आप उपयोग करते हैं, उस पर निर्भर करता है कि लाभांश और बहुपद के विभाजक कितने जटिल हैं।

सामग्री

कदम

भाग 1
भाग 2
भाग 3

टिप्स
चेतावनी

कदम

भाग 1

उपयुक्त दृष्टिकोण चुनें

डिवाइड पॉलीनोमियाल्स स्टेप 1 शीर्षक वाली छवि

विभक्त की जटिलता को देखें लाभांश के संबंध में विभाजक की विभागीय जटिलता (जो बहुविधि जिसके लिए आप विभाजित हो रहे हैं) का स्तर उपयोग करने के लिए सर्वोत्तम दृष्टिकोण को निर्धारित करता है।

भाजक एक एकपद (एक पद के साथ बहुपद), या एक गुणांक या एक निरंतर (एक चर द्वारा पीछा नहीं एक नंबर) के साथ एक चर रहा है, तो आप शायद विभाजन को तोड़ने और कारकों लाभांश जिसके परिणामस्वरूप में से एक को हटाने कर सकते हैं। निर्देशों और उदाहरणों के लिए भाग 2 देखें।
यदि विभाजक एक द्विपद (2 पदों के साथ बहुपद) है, तो आप लाभांश को तोड़ सकते हैं और परिणामी कारकों और डिवाइडरों में से एक को हटा सकते हैं।
भाजक तिकड़ी (तीन शर्तों से बहुपद) है, तो आप दोनों लाभांश भाजक, टूट आम कारक को दूर करने में सक्षम हो सकता है, और फिर या तो आगे लाभांश विघटित या लंबे समय विभाजन का उपयोग करें।
यदि विभाजक 3 से अधिक कारकों के साथ एक बहुपद है, तो संभवतः आपको लंबे विभाजन का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। निर्देशों और उदाहरणों के लिए भाग 3 देखें।

डिवाइड पॉलीनोमियल्स स्टेप 2 शीर्षक वाला छवि

लाभांश की जटिलता को देखें यदि समीकरण का बहुपद विभाजक आपको सलाह नहीं देता कि आप लाभांश को तोड़ने की कोशिश करते हैं, तो लाभांश को ही ध्यान दें।

यदि लाभांश में 3 या उससे कम शर्तें हैं, तो आप शायद इसे नीचे विभाजित कर सकते हैं और विभक्त को हटा सकते हैं

यदि लाभांश में 3 से अधिक पद हैं, तो संभवतः आपको विभाजनकर्ता को लंबे डिवीज़न का उपयोग करके विभाजित करना होगा।

भाग 2

लाभांश को तोड़ना

डिवाइड पॉलीनोमियल्स स्टेप 3 शीर्षक वाली छवि

जांच लें कि लाभांश की सभी शर्तों में डिवाइडर के साथ आम में एक कारक है। यदि यह मामला है, तो आप इसे नीचे तोड़ सकते हैं और संभवतः विभक्त को हटा सकते हैं

यदि आप 3x - 9 binomial को 3 से विभाजित कर रहे हैं, तो आप द्विपदीय के दोनों शब्दों से 3 को तोड़ सकते हैं, इसे 3 (एक्स - 3) बना सकते हैं। आप बाद में विभाजक 3 को हटा सकते हैं, x-3 का भागफल प्राप्त कर सकते हैं।
यदि आप 24x जोड़ी को 6x से विभाजित करते हैं³ - 18x², आप द्विपदीय दोनों शर्तों से 6x को तोड़ सकते हैं, जिससे यह 6x (4x² - 3)। फिर आप विभक्त को रद्द कर सकते हैं, जिससे 4x भागफल छोड़ सकते हैं² - 3।

डिवाइड पॉलीनोमील्स स्टेप 4 शीर्षक वाला इमेज

उन विशेष अनुक्रमों के लिए लाभांश में देखें जो इसे नीचे तोड़ने की संभावना दर्शाते हैं। कुछ बहुपक्षीय पद दिखाते हैं जो आपको बताते हैं कि उन्हें विघटित किया जा सकता है यदि उन कारकों में से कोई एक विभाजक से मेल खाता है, तो आप उसे हटा सकते हैं, शेष भाग को भागफल के रूप में छोड़ दें। यहां देखने के लिए कुछ दृश्य दिए गए हैं:

आदर्श वर्गों का अंतर यह प्रपत्र `` ए की द्विपद है ²एक्स² - बी ``, जिसमें `` ए के मूल्य ²`` और `` बी ²`` परिपूर्ण वर्ग हैं यह द्विपदीय दो द्विपदीय (कुल्हाड़ी + बी) (कुल्हाड़ी-बी) में टूट जाती है, जहां ए और बी गुणांक के वर्ग की जड़ों और पिछले द्विपदीय के स्थिर होते हैं।

परिपूर्ण वर्ग त्रिमोनी इस trinomial फार्म एक है²एक्स² + 2 बीएक्स + बी ². यह (कुल्हाड़ी + बी) (कुल्हाड़ी + बी) में टूट जाती है, जिसे (एश + बी) के रूप में भी लिखा जा सकता है². यदि दूसरे कार्यकाल के सामने एक संकेत है, तो द्विपदीय अपघटन निम्नानुसार व्यक्त किया जाएगा: (कुल्हाड़ी - बी) (कुल्हाड़ी - बी)

योग या क्यूब्स का अंतर इस द्विपदीय में एक फार्म है³एक्स³ + ख³ या एक³एक्स³ - ख³, जिसमें `` ए के मूल्य ³`` और `` बी ³`` वे सही क्यूब्स हैं यह संयोजन एक द्विपद और एक ट्रिनीमियल में टूट गया है। क्यूब्स का योग टूटता है (कुल्हाड़ी + बी) (ए²एक्स² - एबीएक्स + बी²)। क्यूब्स का एक अंतर टूटता है (कुल्हाड़ी - बी) (ए²एक्स² + एबीएक्स + बी²)।

डिवाइड पॉलीनोमियल्स नामक छवि शीर्षक चरण 5

लाभांश को तोड़ने के लिए परीक्षण और त्रुटि का उपयोग करें यदि आपको लाभांश में एक विशेष अनुक्रम नहीं दिखाई देता है जो आपको यह बताता है कि इसे कैसे तोड़ना है, तो आप अपघटन के लिए कई संभावित संयोजनों की कोशिश कर सकते हैं। आप इसे निरंतर देखकर और इसके लिए विभिन्न अपघटनों को देखकर ऐसा कर सकते हैं, फिर केंद्रीय अवधि के गुणांक पर।

उदाहरण के लिए, यदि लाभांश एक्स था² - 3x - 10, आप 10 के कारकों को देखेंगे और तीनों का उपयोग करके यह निर्धारित कर सकते हैं कि कारक किस जोड़ी सही है

10 नंबर 1 और 10 या 2 और 5 के कारकों को ध्यान में विघटित किया जा सकता यह 10 के सामने हस्ताक्षर यह नकारात्मक है के बाद से, द्विपद कारकों में से एक उनके लगातार के सामने एक नकारात्मक नंबर होगा।

संख्या 3 2 और 5 के बीच का अंतर है, इसलिए ये विघटित द्विपदीय के स्थिर होना चाहिए। चूंकि 3 के सामने का संकेत नकारात्मक है, इसलिए 5 के साथ द्विपदीय नकारात्मक होना चाहिए। द्विपदीय अपघटन इसलिए होगा (एक्स - 5) (एक्स + 2)। यदि विभक्त इन दो अपघटनों में से एक है, तो इसे समाप्त किया जा सकता है, और दूसरा भागफल है

भाग 3

लंबे बहुपद विभाजन का उपयोग करें

विभाजन तैयार करें समान बहुपद विभाजन को उसी प्रकार लिखें, जिस प्रकार आप नंबरों को साझा करेंगे। लाभांश लंबी विभाजन रेखा के नीचे जाता है, जबकि विभक्त बाईं तरफ जाता है।

यदि आप एक्स बांट रहे हैं² + 11 x + 10 x +1, x के लिए² + 11 x + 10 लाइन के नीचे जाती है, जबकि एक्स + 1 बाईं तरफ जाता है।

लाभांश के पहले कार्यकाल में विभाजक के पहले कार्य को विभाजित करें। इस विभाजन का परिणाम विभाजन रेखा के ऊपर जाता है।

हमारे उदाहरण के लिए, x को विभाजित करना², लाभांश का पहला कार्यकाल, एक्स के लिए, विभाजक के पहले कार्यकाल में एक्स पैदा होता है। आप x से ऊपर, विभाजन रेखा के शीर्ष पर एक एक्स लिखेंगे².

डिवाइड पॉलिनीमियाल्स स्टेप 8 नाम वाली छवि

भाजक के लिए महत्वपूर्ण स्थान में एक्स को गुणा करें लाभांश के बाएं किनारे शर्तों के तहत गुणा परिणाम लिखें।

हमारे उदाहरण के साथ जारी रखते हुए, x + x x परिणाम में गुणा करना² + एक्स। आप इसे लाभांश के पहले दो शब्दों के तहत लिखेंगे।

विभक्त पॉलिनोमियाल चरण 9 के शीर्षक वाला चित्र

लाभांश से घटाना ऐसा करने के लिए, पहले गुणन उत्पाद के संकेतों को पीछे कर दें। घटाए जाने के बाद, यह लाभांश के शेष नियमों के तहत किया जाता है।

एक्स के संकेतों का उलटा होना² + x बनाएँ- x² - एक्स। लाभांश के पहले दो शब्दों से इसे घटाकर हम 10x प्राप्त करते हैं। लाभांश के शेष नियमों को नीचे लाने के बाद, हमारे पास 10x + 10 को एक अस्थायी भागफल के रूप में विभाजित प्रक्रिया जारी रखने के लिए।

अस्थायी भागफल पर पिछले तीन चरणों को दोहराएं। भाजक के पहले कार्यकाल अनंतिम भागफल में फिर से विभाजित, भागफल के पहले कार्यकाल के बाद विभाजन रेखा के ऊपर परिणाम लिखते हैं, भाजक से परिणाम गुणा, और फिर गणना करता है क्या अंतरिम भागफल से घटाना।

चूंकि एक्स 10x में 10 गुना है, इसलिए आप विभाजन के पद में एक्स के बाद "+ 10" लिखेंगे, विभाजक बार पर।

10 से 10 गुणा गुणा 10x + 10 देता है यह अस्थायी भागफल के नीचे लिखें और घटाव चिह्नों को पलटना, इसे -10x -10 बनाये।

जब आप घटाना चाहते हैं, तो आपके पास 0 का शेष हिस्सा है। अब, एक्स को विभाजित करना² + 11 x 10 + x +1 x + 10 का एक भागफल (आप बंटवारे से एक ही परिणाम प्राप्त कर सकते थे, लेकिन इस उदाहरण अपेक्षाकृत सरल विभाजन बनाए रखने के लिए चुना गया है) प्राप्त करने के लिए।

टिप्स

यदि, बहुपद पर लंबी अवधि के दौरान, आपके पास शेष 0 के बराबर नहीं है, तो आप अंश के उस बाकी हिस्से को एक अंश के रूप में लिखकर उस अंश को अंश के रूप में बना सकते हैं और एक अंश के रूप में विभाजक हो सकते हैं। अगर, हमारे उदाहरण में, लाभांश एक्स² + X के बजाय 11 x + 12² + 11 x + 10, एक्स + 1 द्वारा विभाजन शेष 2 छोड़ दिया होता। पूर्ण भागफल तब लिखा जाएगा: ${ displaystyle x + 10 + { frac {2} {x + 1}}}$
यदि लाभांश में अपनी शर्तों की डिग्री में एक वैक्यूम होता है, तो 3x टाइप करें³+9x²+18, आप 0 के एक गुणांक के साथ 0 के गुणांक के साथ लापता शब्द दर्ज कर सकते हैं, जिससे विभाजन में अन्य शब्दों को स्थानांतरित करना आसान हो सकता है। ऐसा करने से लाभांश के मूल्य में बदलाव नहीं होता है
कि कुछ बीजगणित किताबें बहुपद डिवीजनों में अनुपात और लाभांश के लेआउट का औचित्य साबित करने के लिए, या मामले पेश करने के लिए इतना है कि दोनों बहुआयामी पद में एक ही डिग्री के साथ तत्व एक दूसरे के लिए गठबंधन कर रहे हैं करते हैं ध्यान रखें। आप इसे आसान पा सकते हैं, हालांकि, जब हाथों से विभाजन कर रहे हैं, तो बाईं ओर भागफल को औचित्य दें और पिछले चरणों में बताए अनुसार विभाजित करें।

चेतावनी

स्तंभों को गठबंधन रखें जैसा कि आप लंबे समय से बहुपदों को विभाजित करते हैं ताकि गलत शब्दों को घटाना न हो।
एक बहुपक्षीय विभाजन के भागफल को लिखते समय, जिसमें एक अंश तत्व शामिल होता है, हमेशा पूर्ण संख्या (या संपूर्ण चर) और अंश तत्व के बीच प्लस चिह्न का उपयोग करें

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