कैसे एक द्विघात फंक्शन के व्युत्क्रम को खोजने के लिए

द्विघात फ़ंक्शन के व्युत्क्रम की गणना सरल है: यह एक्स के संबंध में समीकरण को निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है और परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति में x को प्रतिस्थापित करता है। एक द्विघात समारोह के व्युत्क्रम को खोजना निश्चित रूप से भ्रामक है, खासकर जब से द्विआधारी कार्य एक उपयुक्त सीमित डोमेन को छोड़कर, द्वि-

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कदम
टिप्स

कदम

एक द्विघात समारोह के व्युत्क्रम का शीर्षक शीर्षक छवि 1 चरण

स्पष्ट सम्मान y या एफ (एक्स) अगर यह पहले से ही नहीं है तो आपके बीजीय जोड़ों के दौरान किसी भी तरह से फ़ंक्शन को संशोधित न करें और समीकरण के दोनों सदस्यों के लिए समान कार्यवाही करें।

एक द्विघात समारोह के व्युत्क्रम का शीर्षक शीर्षक छवि 2 चरण

फ़ंक्शन को फॉर्म में सेट करें y = a (x-h)²+कश्मीर। यह फ़ंक्शन के व्युत्क्रम को खोजने के लिए केवल मौलिक नहीं है, बल्कि यह भी निर्धारित करने के लिए कि फ़ंक्शन में वास्तव में व्युत्क्रम है आप ऐसा दो तरीकों से कर सकते हैं:

वर्ग को पूरा करना

"सामान्य कारक को इकट्ठा करें" समीकरण की सभी शर्तों से (x का गुणांक)²)। इसके मूल्य का लेखन करके करो को, एक कोष्ठक खोलना, और पूरे समीकरण को लिखना, उसके बाद मूल्य की प्रत्येक अवधि को विभाजित करना को, जैसा कि सही पर आरेख में दिखाया गया है। समीकरण के बायीं ओर को अपरिवर्तित छोड़ दें, क्योंकि हमने दाहिने हाथ के सदस्य के मूल्य में कोई वास्तविक परिवर्तन नहीं किया है।

वर्ग को पूरा करें एक्स का गुणांक (बी / ए) है इसे आधे प्राप्त करने (बी / 2 ए) में विभाजित करें, और इसे वर्ग में बढ़ाएं, (बी / 2 ए)². इसे जोड़ने और इसे समीकरण से घटाना इस समीकरण पर कोई भी बदलाव नहीं होगा। यदि आप सावधानी से देखते हैं, तो आप देखेंगे कि कोष्ठक के भीतर पहले तीन शब्द फार्म में हैं²+2AB + ब², जहाँ को यह है एक्स, और ख यह है (बी / 2 ए). जाहिर है ये शब्द एक वास्तविक समीकरण के लिए बीजीय और संख्यात्मक नहीं होंगे। यह एक पूर्ण वर्ग है

चूंकि पहले तीन शब्द अब एक पूर्ण वर्ग बनाते हैं, इसलिए आप उन्हें रूप में लिख सकते हैं (ए-बी)² ओ (ए + बी)². समीकरण में एक्स गुणांक के रूप में दो शब्दों के बीच का चिन्ह समान चिह्न होगा।

उस वर्ग को लें, जो वर्ग वर्ग के बाहर है, जो वर्ग वर्गों से बाहर है। यह फार्म का समीकरण समझाता है y एक (एक्स एच) =²+कश्मीर, वांछित

गुणांक की तुलना करना

एक्स में एक पहचान बनाएं बाईं ओर, फ़ंक्शन दर्ज करें, जैसा कि एक्स के रूप में व्यक्त किया गया है, और दाईं ओर फ़ंक्शन को वांछित रूप में दर्ज करें, इस मामले में एक (एक्स एच)²+कश्मीर. यह आपको a, h और k के मूल्यों को खोजने की अनुमति देगा जो सभी x मानों के लिए अच्छे हैं I

पहचान के सही सदस्य के कोष्ठक खोलें और विकसित करें हमें समीकरण के बाईं ओर स्पर्श नहीं करना चाहिए, और हम इसे अपने काम से छोड़ सकते हैं ध्यान दें कि सभी काम जो सही पक्ष पर किया जाता है यह है बीजीय के रूप में दिखाया और संख्यात्मक नहीं

एक्स की प्रत्येक शक्ति के गुणांक की पहचान करता है फिर उन्हें समूह और उन्हें कोष्ठकों में रखें, जैसा कि सही पर दिखाया गया है

एक्स की प्रत्येक शक्ति के गुणांक की तुलना करें एक्स के गुणांक² सही सदस्य का चाहिए बाईं ओर एक के जैसा ही होना चाहिए यह हमें a का मान देता है। सही सदस्य का एक्स-गुणांक बाईं सदस्य के बराबर होना चाहिए। यह एक और एच में एक समीकरण के गठन की ओर जाता है, जो कि पहले से ही पाया गया है, जो कि मूल्य के स्थान से हल किया जा सकता है एक्स के गुणांक⁰, या 1, छोड़ दिया सदस्य सही सदस्य के बराबर होना चाहिए। उन्हें तुलना करके आप एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं जो हमें कश्मीर के मूल्य को खोजने में मदद करेगा।

ऊपर दिए गए क, एच और कश्मीर के मूल्यों का उपयोग करना, हम वांछित रूप में समीकरण लिख सकते हैं।

एक द्विघात फंक्शन के व्युत्क्रम का शीर्षक शीर्षक वाला चित्र चरण 3

सुनिश्चित करें कि एच का मान या तो डोमेन की सीमा के भीतर या बाहर है एच के मूल्य हमें समारोह के स्थिर बिंदु के एक्स निर्देशांक देता है डोमेन के भीतर एक स्थिर बिंदु का मतलब होगा कि फ़ंक्शन बाजिकिएक नहीं है, इसलिए इसमें व्युत्क्रम नहीं है। ध्यान दें कि समीकरण एक है (x-ज)²+कश्मीर। इसलिए यदि कोष्ठक के अंदर (x + 3) होते हैं, तो एच का मान -3 होगा।

एक चौथाई फंक्शन के व्युत्क्रम का शीर्षक शीर्षक छवि 4 चरण

स्पष्ट सूत्र सम्मान (एक्स-एच)². यह समीकरण के दोनों सदस्यों से कश्मीर के मूल्य को घटाकर, और फिर दोनों सदस्यों को एक से विभाजित करके करें। इस बिंदु पर मुझे a, h और k के संख्यात्मक मान होंगे, इसलिए उन का उपयोग करें और प्रतीक नहीं।

एक चौथाई फंक्शन के व्युत्क्रम का शीर्षक शीर्षक वाला चित्र चरण 5

समीकरण के दोनों सदस्यों का वर्गमूल निकालें। यह (x - h) से द्विघात शक्ति को समाप्त करेगा साइन दर्ज करने के लिए मत भूलना "+/-" समीकरण के दूसरी तरफ

एक द्विघात फंक्शन के व्युत्क्रम का शीर्षक शीर्षक चित्र छवि चरण 6

+ साइन और साइन-साइन के बीच तय करें, क्योंकि आप दोनों को नहीं रख सकते हैं (दोनों में से एक के पास एक होगा) "समारोह" एक से कई, जो इसे अमान्य बनाते हैं)। ऐसा करने के लिए, डोमेन का पालन करें। यदि डोमेन स्थिर बिंदु के बाईं तरफ है, उदा एक्स < एक निश्चित मूल्य, चिह्न का उपयोग करें - यदि डोमेन स्थिर बिंदु के दाईं ओर है, उदाहरण के लिए एक्स > एक निश्चित मान, + साइन का उपयोग करें फिर, x के संबंध में सूत्र स्पष्ट करें

एक चौथाई फंक्शन के व्युत्क्रम का शीर्षक शीर्षक चित्र 7

Y को x के साथ बदलें, और च के साथ x^-1(एक्स), और सफलतापूर्वक एक द्विघात समारोह के व्युत्क्रम पाया होने पर अपने आप को बधाई।

टिप्स

एक्स के एक निश्चित मूल्य के लिए एफ (एक्स) के मूल्य की गणना करके अपने व्युत्क्रम की जांच करें, और फिर इसके विपरीत में f (x) के उस मूल्य को बदलने के लिए देखें कि क्या यह एक्स के मूल मान को वापस करता है। उदाहरण के लिए, यदि 3 [f (3)] का कार्यफल 4 है, तो व्युत्क्रम में 4 को प्रतिस्थापित करना आपको 3 मिलना चाहिए।
यदि यह बहुत समस्याग्रस्त नहीं है तो आप इसके चार्ट का विश्लेषण करके उलटा भी देख सकते हैं। इसे उसी रूप में दिखना चाहिए जैसा मूल समारोह y = x अक्ष के संबंध में परिलक्षित होता है

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