गणितीय विश्लेषण में डेरिवेटिव की गणना कैसे करें
व्युत्पत्ति का उपयोग किसी चार्ट के सबसे दिलचस्प विशेषताओं, जैसे मैक्सिमा, मिनमा, चोटियों, घाटियों और ढलानों के लिए किया जा सकता है। आप ग्राफ़िंग कैलकुलेटर के बिना जटिल समीकरण भी आकर्षित कर सकते हैं! दुर्भाग्य से, व्युत्पन्न होने पर अक्सर उबाऊ होते हैं, लेकिन यह लेख आपको कुछ युक्तियों और युक्तियों के साथ मदद करेगा।
कदम
1
व्युत्पन्न के अंकन को समझने की कोशिश करें। निम्नलिखित दो नोटिनेशन सबसे आम हैं, भले ही अनगिनत अन्य होते हैं:
- लाइबनिज नोटेशन: इस नोटेशन को अधिक आम है जब समीकरण में y और x शामिल होता है
डीआई / डीएक्स का शाब्दिक अर्थ है "एक्स के संबंध में वाई के व्युत्पन्न"। एक्स और वाई के मूल्यों के लिए व्युत्पन्न के रूप में Δy / Δx के रूप में विचार करना उपयोगी हो सकता है जो एक दूसरे से अन्तराल भिन्न होते हैं। यह व्याख्या एक व्युत्पन्न की सीमा की परिभाषा के लिए उपयुक्त है:
लिम एच>0 (एफ (एक्स + एच) - एफ (एक्स)) / एच
जब आप दूसरे व्युत्पन्न के लिए इस नोटेशन का उपयोग करते हैं, तो आपको लिखना होगा:
डीवाई2 / डीएक्स2. - लग्रेज संकेतन: एक फ़ंक्शन एफ के व्युत्पन्न को `एफ` (x) के रूप में भी लिखा जाता है। यह संकेतन स्पष्ट है "च x के पहले"। यह संकेतन लीबनिज़ की तुलना में छोटा है और फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की तलाश में उपयोगी है। उच्च आदेश के डेरिवेटिव बनाने के लिए, बस एक और साइन जोड़ें " ` " और इसलिए दूसरा व्युत्पन्न हो जाता है f " (एक्स)।
2
समझने की कोशिश करें कि व्युत्पन्न क्या है और इसका उपयोग क्यों किया जाता है। सबसे पहले, एक रैखिक ग्राफ के ढलान को खोजने के लिए, आप लाइन पर दो बिंदु और उनके निर्देशांक लेते हैं जिन्हें समीकरण में दर्ज किया जाना चाहिए (y2 - y1) / (एक्स2 -एक्स1)। हालांकि, यह केवल रैखिक चार्ट के साथ प्रयोग किया जा सकता है द्विघात और उच्च डिग्री समीकरणों के लिए, लाइन घुमावदार है, इसलिए इसे लेने के लिए सही नहीं है "अंतर" दो बिंदुओं का वक्र ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के ढलान को खोजने के लिए, आप दो बिंदु लेते हैं और एक वक्र के ग्राफ के ढलान को खोजने के लिए मानक समीकरण से जुड़ते हैं: [f (x + dx) - f (x)] / डीएक्स डीएक्स के लिए खड़ा है "डेल्टा एक्स", जो ग्राफ के दो बिंदुओं के दो एक्स निर्देशांक के बीच का अंतर है। ध्यान दें कि यह समीकरण उसी के समान है (y2 - y1) / (एक्स2 - एक्स1), लेकिन यह केवल एक अलग रूप में है चूंकि यह पहले से ही ज्ञात है कि परिणाम imprecise होगा, एक अप्रत्यक्ष दृष्टिकोण लागू किया जाता है। निर्देशांक के सामान्य बिंदु (एक्स, एफ (एक्स)) पर स्पर्शरेखा के ढलान को खोजने के लिए, डीएक्स को 0 पर पहुंचना चाहिए, ताकि दो बिंदु उठाए गए हों "स्थापित" एक स्थान पर हालांकि, 0 से विभाजित होना संभव नहीं है, इसलिए, दो बिंदुओं के निर्देशांक के मूल्यों को बदलने के बाद, समीकरण के हरसंख्यक के अधिकार को सरल बनाने के लिए, घटकों और अन्य विधियों का उपयोग करना आवश्यक होगा। एक बार किया, 0 पर सही सेट करें और हल करें। यह समन्वय बिंदु (एक्स, एफ (एक्स)) पर स्पर्शरेखा का ढलान है। एक समीकरण का व्युत्पन्न एक ग्राफ़ पर किसी भी रेखा स्पर्शरेखा के ढलान या कोणीय गुणांक को खोजने के लिए सामान्य समीकरण है। यह बहुत जटिल लग सकता है, लेकिन नीचे कुछ उदाहरण दिए गए हैं जो व्युत्पन्न कैसे प्राप्त करें, यह स्पष्ट करने में मदद करेगा।
विधि 1
स्पष्ट व्युत्पत्ति1
समानता का उपयोग करें जब समीकरण पहले से ही समानता के एक तरफ है।
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सूत्र का समीकरण दर्ज करें [f (x + dx) - f (x)] / dx उदाहरण के लिए, यदि समीकरण y = x है2, व्युत्पन्न हो जाता है [(एक्स + डीएक्स) 2 - एक्स2] / dx
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गुणा करें और फिर समीकरण [dx (2x + dx)] / dx बनाने का अधिकार इकट्ठा करें। अब आप अंश और भाजक के बीच सही को सरल कर सकते हैं। परिणाम 2 x + सही है और, जब यह सही है 0, व्युत्पन्न 2x है इसका अर्थ है कि ग्राफ़ y = x के प्रत्येक स्पर्शरेखा का ढलान 2 यह 2x है बस एक्स के मूल्य की जगह को उस स्थान के फरमान के साथ बदलें जहां आप ढलान को ढूंढना चाहते हैं।
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समान समीकरणों को प्राप्त करने के लिए पैटर्न जानें यहां कुछ हैं
विधि 2
अनुपयुक्त व्युत्पत्ति1
यह पृथक व्युत्पन्नता का उपयोग करता है जब समानता के एक तरफ पर समीकरण को y के साथ आसानी से लिखा नहीं जा सकता। यहां तक कि अगर आप एक ओर y के साथ लिखने में सक्षम थे, तो dy / dx की गणना बोरिंग होगी। नीचे एक उदाहरण है कि हम इस प्रकार के समीकरण को कैसे हल कर सकते हैं।
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इस उदाहरण में, x2वाई + 2 ए3 = 3x + 2y, f (x) के साथ y की जगह ले, तो आपको याद होगा कि y वास्तव में एक फ़ंक्शन है। तो समीकरण x हो जाता है [f (x)]2 + 2 [f (x)]3 = 3x + 2 एफ (एक्स)
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इस समीकरण के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, यह एक्स के संबंध में समीकरण के दोनों किनारों (व्युत्पन्न को खोजने के लिए एक बड़ा शब्द) भिन्न करता है तो समीकरण एक्स हो जाता है2f `(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2एफ `(एक्स) = 3 + 2 एफ` (एक्स)।
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Y के साथ फिर से च (एक्स) को बदलें एफ `(एक्स) के साथ ऐसा नहीं करने के लिए सावधान रहें, जो एफ (एक्स) से अलग है।
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एफ `(एक्स) के लिए हल करें इस उदाहरण के लिए उत्तर है (3 - 2xy) / (x 2 + 6y 2 - 2)।
विधि 3
उच्च आदेश के संजात1
फ़ंक्शन के उच्च क्रम का व्युत्पन्न करने का अर्थ केवल व्युत्पन्न के व्युत्पन्न (ऑर्डर 2 के लिए) करना होता है। उदाहरण के लिए, यदि आपको तीसरे ऑर्डर व्युत्पन्न की गणना करने के लिए कहा जाता है, तो डेरिवेटिव के व्युत्पन्न के व्युत्पन्न करें। कुछ समीकरणों के लिए, सर्वोच्च ऑर्डर डेरिवेटिव 0 को बनाते हैं।
विधि 4
चेन नियम1
जब y, z का एक भिन्न कार्य होता है, तो z का एक अलग कार्य होता है, y x का मिश्रित कार्य होता है और एक्स (डीआई / डीएक्स) के संबंध में वाई के व्युत्पन्न (डीयू / डीयू) * (डु / डीएक्स) है। श्रृंखला नियम भी यौगिक शक्ति समीकरण (पावर पावर) के लिए मान्य हो सकता है, जैसे: (2x4 - एक्स)3. व्युत्पन्न को खोजने के लिए, बस उत्पाद नियम के बारे में सोचें। शक्ति द्वारा समीकरण को गुणा करें और 1 की शक्ति कम करें। फिर शक्ति के आंतरिक भाग के व्युत्पन्न द्वारा समीकरण को गुणा करें (इस मामले में, 2x4 - एक्स)। इस समस्या का उत्तर 3 (2x4 - एक्स)2(8x3 - 1)।
टिप्स
- Yz के व्युत्पन्न (जहां y और z दोनों फ़ंक्शंस हैं) केवल 1 नहीं है, क्योंकि y और z अलग फ़ंक्शन हैं। उत्पाद नियम का उपयोग करें: yz = y (1) + z (1) = y + z
- उत्पाद का नियम, भागफल का नियम, श्रृंखला का नियम और सभी अन्तर्निहित व्युत्पत्तियों के ऊपर अभ्यास करना, क्योंकि ये अंतर विश्लेषण में सबसे कठिन हैं।
- जब भी आप हल करने के लिए एक बड़ी समस्या देखते हैं, चिंता न करें। बस उत्पाद मानकों, भागफल आदि को लागू करके बहुत छोटे टुकड़ों में तोड़ने का प्रयास करें। फिर अलग-अलग हिस्सों को प्राप्त होता है
- अपने कैलकुलेटर को अच्छी तरह से जानें: अपने कैलकुलेटर के विभिन्न कार्यों का प्रयोग करके सीखें कि उन्हें कैसे उपयोग करें। यह आपके कैलकुलेटर के स्पर्शरेखा और व्युत्पन्न कार्यों का उपयोग करने के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, यदि वे मौजूद हैं।
- त्रिकोणमिति के बुनियादी डेरिवेटिव को याद रखें और उन्हें हेरफेर करने का तरीका जानें।
चेतावनी
- अंश के नियम का उपयोग करते समय जी के डेरिवेटिव के लिए एफ के सामने शून्य चिह्न को मत भूलना: यह एक सामान्य गलती है और इसे भूलकर आपको गलत जवाब दिया जाएगा!
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