त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें

एक त्रिकोणमितीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें वेरिएबल x के एक या एक से अधिक त्रिकोणमिति फ़ंक्शन होते हैं। एक्स के हल के लिए एक्स के मूल्यों को खोजने का मतलब है जो इसे पूरा करने के लिए त्रिकोणमितीय समारोह में डाला जाता है।

चाप फ़ंक्शन के समाधान या मान डिग्री या रीडियन में व्यक्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए: x = π / 3 - x = 5π / 6 - x = 3π2 - x = 45 डिग्री - एक्स = 37.12 डिग्री - एक्स = 178.37 डिग्री
नोट: यूनिट के त्रिकोणमिति चक्र पर, प्रत्येक चाप के त्रिकोणमितिक फ़ंक्शंस इसी कोण के समान त्रिकोणमिति फ़ंक्शन होते हैं। त्रिकोणमिति चक्र सभी त्रिकोणमितीय कार्यों को चाप चर x पर परिभाषित करता है सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों या असमानताओं को सुलझाने में यह एक सबूत के रूप में भी प्रयोग किया जाता है।
त्रिकोणमितीय समीकरणों के उदाहरण:
sin x + sin 2x = 1/2 - tan x + cot x = 1,732
cos 3x + sin 2x = cos x - 2sin 2x + cos x = 1

एकाग्र त्रिकोणमितीय मंडली
यह त्रिज्या = 1 यूनिट के साथ एक चक्र है, ओ मूल के रूप में है। यूनिट त्रिकोणमितीय सर्कल चर चक एक्स के 4 मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करता है जो उस पर वामावर्त की ओर घूमता है।
जब चाप, मान x के साथ, यूनिट त्रिकोणमिति चक्र पर भिन्न होता है:
क्षैतिज अक्ष OAx त्रिकोणमिति फ़ंक्शन को परिभाषित करता है f (x) = cos x
ओबी ऊर्ध्वाधर अक्ष त्रिकोणमिति फ़ंक्शन को परिभाषित करता है f (x) = sin x
ऊर्ध्वाधर अक्ष में त्रिकोणमिति फ़ंक्शन को परिभाषित करता है f (x) = tan x
क्षैतिज अक्ष बीयू त्रिंबोमेट्रिक फ़ंक्शन को परिभाषित करता है f (x) = cot x

यूनिट के त्रिकोणमितीय चक्र का इस्तेमाल उस पर एक्स-अक्ष के विभिन्न पदों पर विचार करके मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए भी किया जाता है।

कदम

इमेज का शीर्षक हल त्रिकोणमिति समीकरण चरण 1

संकल्प की अवधारणा को जानें

त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, इसे एक मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों में बदल दें। अंत में एक त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए मूलभूत त्रिकोणमितीय समीकरणों के 4 प्रकारों को हल किया जाता है।

छवि का शीर्षक हल त्रिकोणमिति समीकरण चरण 2

बुनियादी समीकरणों को हल करने के तरीके को समझना

मूलभूत त्रिकोणमिति समीकरणों के 4 प्रकार हैं:

पाप x = a - cos x = a

तन x = एक - खाट x = a

मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को सुलझाने में त्रिकोणमिति चक्र पर एक्स-आर्क के विभिन्न पदों का अध्ययन करना होता है, और रूपांतरण तालिकाओं (या कैलकुलेटर) का उपयोग करना होता है। इन बुनियादी समीकरणों को हल करने के तरीके को पूरी तरह से समझने के लिए, और पसंद करें, पुस्तक को देखें: "त्रिकोणमिति: त्रिकोणीय समीकरणों और असमानताओं को हल करना" (अमेज़ॅन ई-बुक 2010)।

उदाहरण 1. पाप को हल करें x = 0.866 रूपांतरण तालिका (या कैलकुलेटर) समाधान देता है: x = π / 3 त्रिकोणमितीय चक्र में एक अन्य आर्क (2π / 3) है, जिसकी साइन (0.866) के लिए समान मूल्य है। त्रिकोणमितीय सर्कल अन्य समाधानों की अनन्तता प्रदान करता है जिन्हें विस्तारित समाधान कहा जाता है।

x1 = π / 3 + 2k.Pi, और x2 = 2π / 3 (अवधि के साथ समाधान (0, 2π))

x1 = π / 3 + 2k Pi, और x2 = 2π / 3 + 2k π। (विस्तारित समाधान)

उदाहरण 2. हल: cos x = -1 / 2 कैलकुलेटर x = 2 π / 3 देता है त्रिकोणमिति चक्र एक और चाप x = -2π / 3 प्रदान करता है

x1 = 2π / 3 + 2k.Pi, और x2 = - 2π / 3 (अवधि के साथ समाधान (0, 2π)

x1 = 2π / 3 + 2k Pi, और x2 = -2π / 3 + 2k.π। (विस्तारित समाधान)

उदाहरण 3. संकल्प: तन (x - π / 4) = 0

x = π / 4 - (अवधि π के साथ समाधान)

x = π / 4 + k Pi- (विस्तारित समाधान)

उदाहरण 4. समाधान: खाट 2x = 1,732 कैलकुलेटर और त्रिकोणमितीय सर्कल रिटर्न:

x = π / 12 - (अवधि π के साथ समाधान)

x = π / 12 + k π - (विस्तारित समाधान)

इमेज का शीर्षक हल त्रिकोणमिति समीकरण चरण 3

त्रिकोणमितीय समीकरणों को सरल बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले परिवर्तनों को जानें।

एक आधार के किसी खास त्रिकोणमितीय समीकरण को बदलने के लिए, आम बीजीय परिवर्तनों (गुणन, आम कारण, बहुपद पहचान, और इतने पर), परिभाषाएँ और त्रिकोणमितीय क्रियाओं के गुण, और त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग। 1 9 से 31 तक के अंतिम 31 त्रिकोणमितिक सहित, लगभग 31 हैं, को ट्रांसफ़ॉर्मेशन आइडेंटिटी कहा जाता है, क्योंकि वे त्रिकोणमिति समीकरण को बदलने के लिए उपयोग किए जाते हैं। ऊपर दिखाए गए पुस्तक को देखें

उदाहरण 5: त्रिकोणमितीय समीकरण: पाप x + पाप 2x + पाप 3x = 0 तब्दील किया जा सकता है, त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग, एक बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों उत्पाद में: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों कि हल किया जाना चाहिए रहे हैं: क्योंकि x = 0 - पाप (3x / 2) = 0 - और क्योंकि (एक्स / 2) = 0।

सोल्रे ट्रागोनोमेट्रिक समीकरण स्टेप 4 नामक छवि

ज्ञात त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित आर्क्स ढूंढें

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके सीखने से पहले, आपको ज्ञात त्रिकोणमितीय कार्यों के चकत्ते को जल्दी से कैसे पता चलेगा। आर्क (या कोण) के लिए रूपांतरण मान त्रिकोणमितीय तालिकाओं या कैलकुलेटर द्वारा प्रदान किए जाते हैं।

उदाहरण: हल करने के बाद, हमें सी एक्स = 0.732 प्राप्त होता है। कैलकुलेटर हमें समाधान आर्क एक्स = 42.95 डिग्री देता है। यूनिट के त्रिकोणमितीय चक्र एक अन्य समाधान प्रदान करेगा: चाप जो कोसाइन के समान मूल्य है।

छवि का शीर्षक हल त्रिकोणमिति समीकरण चरण 5

त्रिकोणीय सर्कल पर समाधान वाले आर्क को ड्रा।

आप समाधान को स्पष्ट करने के लिए त्रिकोणमितीय मंडली पर आर्कों को आकर्षित कर सकते हैं। इन समाधान किनारों के चरम बिंदुएं त्रिकोणमितीय मंडली पर नियमित बहुभुज हैं। उदाहरण के लिए:

समाधान आर्क x = π / 3 + k.π / 2 के चरम बिंदु त्रिकोणमिति मंडल पर एक वर्ग बनाते हैं।

यूनिट त्रिकोणमितीय सर्कल पर एक नियमित षट्भुज के कोने से समाधान आर्किक्स x = π / 4 + k.π / 3 का प्रतिनिधित्व किया जाता है।

इमेज का शीर्षक हल त्रिकोणमितीय समीकरणों का चरण 6

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए दृष्टिकोणों को जानें

यदि दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण में केवल एक त्रिकोणमितीय कार्य होता है, तो उसे मूल त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में हल करें। यदि दिए गए समीकरण में दो या अधिक त्रिकोणमिति फ़ंक्शंस शामिल हैं, तो इसका समाधान करने के दो तरीके हैं, उपलब्ध परिवर्तनों के आधार पर।

ए दृष्टिकोण 1

फॉर्म के उत्पाद में दिए गए समीकरण को परिवर्तित करें: f (x) .g (x) = 0 या f (x) .g (x) .h (x) = 0, जहां f (x), g (x) ) एह (x) मूल त्रिकोणमितीय कार्य हैं।

उदाहरण 6. समाधान: 2cos x + sin 2x = 0 (0 < एक्स < 2π)

समाधान। पहचान का उपयोग करके पाप 2x को बदलें: पाप 2x = 2 * पाप x * cos x

cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. आगे, 2 मूल त्रिकोणमितीय कार्यों को हल करें: cos x = 0, और (sin x + 1) = 0

उदाहरण 7. समाधान करें: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < एक्स < 2π)

समाधान: ट्रीगोनोमेट्रिक पहचान का उपयोग कर इसे एक उत्पाद बनाने,: क्योंकि 2x (2cos x + 1) = 0. फिर, का समाधान दो बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों: 2x = 0, और (2cos x + 1) = क्योंकि 0।

उदाहरण 8. समाधान: पाप x - पाप 3x = cos 2x (0 < एक्स < 2π)

समाधान। पहचान का उपयोग कर, एक उत्पाद में बदलने: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. फिर 2 बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल: 2x = 0, और (2sin x + 1) = 0 क्योंकि।

बी दृष्टिकोण 2

मूल त्रिकोणमितीय समीकरण को त्रिकोणमितीय समीकरण में परिवर्तित करें जिसमें चर के साथ केवल एक त्रिकोणमिति फ़ंक्शन होता है। उचित चर का चयन करने के लिए दो युक्तियां हैं चुनने के लिए सामान्य चर: पाप x = टी-कॉस x = टी-कॉस 2x = टी, तन x = टी और तन (x / 2) = टी

उदाहरण 9. समाधान: 3 सिन ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 < एक्स < 2pi)।

समाधान। समीकरण को बदलता है (cos ^ 2 x) (1 - sin ^ 2 x), फिर समीकरण को सरल करता है:

पाप ^ 2 एक्स - 2 - 2 सिन ^ 2 एक्स - 4 सिन एक्स - 7 = 0. पाप को एक्स = टी बदलें समीकरण बन जाता है: 5 टी ^ 2 - 4 टी - 9 = 0. यह एक द्विघात समीकरण है जिसमें 2 असली जड़ें हैं: टी 1 = 1 और टी 2 = 9/5 दूसरे टी 2 को छोड़ दिया जाना चाहिए > 1. आगे, संकल्प: t = sin = -1 -> x = 3π / 2

उदाहरण 10. समाधान: तन x + 2 तन ^ 2 एक्स = चोटी x + 2

समाधान। तन x = t बदलें चर टी के साथ एक समीकरण में दिए गए समीकरण रूपांतरण करें: (2t + 1) (टी ^ 2 - 1) = 0. इस उत्पाद से टी के लिए संकल्प यह है, तो बुनियादी त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल तन एक्स = टी एक्स।

सोल्रे ट्रागोनोमेट्रिक समीकरणों का शीर्षक शीर्षक चित्र 7

विशेष प्रकार के त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें

कुछ विशेष प्रकार के त्रिकोणमितीय समीकरण हैं जिनके लिए विशिष्ट परिवर्तनों की आवश्यकता होती है। उदाहरण:

एक * पाप x + b * cos x = c - a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;

एक * पाप ^ 2 एक्स + बी * पाप x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0

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त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिक गुणों को जानें

सभी त्रिकोणमिति फ़ंक्शंस आवधिक हैं, अर्थात्, वे एक अवधि के रोटेशन के बाद उसी मूल्य पर लौटते हैं। उदाहरण:

फ़ंक्शन एफ (एक्स) = पाप एक्स में एक अवधि के रूप में 2π है।

समारोह एफ (एक्स) = टैन एक्स एक अवधि के रूप में π है।

फ़ंक्शन एफ (एक्स) = पाप 2x की अवधि के रूप में π है

समारोह एफ (एक्स) = कॉस (एक्स / 2) एक अवधि के रूप में 4π है।

यदि अवधि समस्या / परीक्षण में निर्दिष्ट होती है, तो आपको केवल अवधि के भीतर समाधान आर्क (एस) एक्स खोजने की आवश्यकता है।

नोट: एक त्रिकोणमितीय समीकरण को सुलझाना एक मुश्किल काम है जो अक्सर त्रुटियों और गलतियों की ओर जाता है। इसलिए, जवाबों की सावधानीपूर्वक जाँच की जानी चाहिए बसे होने के बाद, आप एक चार्ट या एक कैलकुलेटर का उपयोग कर सीधे त्रिकोणमितीय समारोह आर (x) = 0. जवाब (असली जड़) दशमलव में दिया जाएगा आकर्षित करने के लिए समाधान नियंत्रित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, π मूल्य 3.14 द्वारा दिया जाता है

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