पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग कैसे करें

2500 से ज्यादा साल पहले, ग्रीक गणितज्ञ पाइथागोरस ने एक प्रमेय की खोज की जो आज भी प्रयोग में है। पाइथागोरस प्रमेय कहा गया है कि: हर समकोण त्रिभुज में कर्ण के वर्ग हमेशा वर्गों cathets पर निर्माण की राशि के बराबर है। बीजगणितीय लिखित: ए²

सामग्री

कदम

विधि 1सही त्रिभुज में
विधि 2दूरी फॉर्मूला के भाग के रूप में
विधि 3त्रिकोणमिति का उपयोग न किए गए त्रिकोण में
विधि 4वेक्टर परिवेश में

टिप्स

+ ख² = सी².

पायथागॉरियन प्रमेय के कई उपयोग हैं उदाहरण के लिए, इसका उपयोग एक संदर्भ बिंदु या एक सदिश के आकार का उपयोग करके दो शहरों के बीच की दूरी की गणना करने के लिए किया जा सकता है, इसके क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों को देखते हुए।

कदम

विधि 1
सही त्रिभुज में

पायथागॉरियन प्रमेय लिखें: ए 2 + बी 2 = सी 2 और एक त्रिभुज आकृति खींचें जो आप हल कर रहे हैं।

अपने त्रिकोण को नाम दें दो छोटी पक्षों "एक" और "b" (यह क्या है और क्या है ख कोई फर्क नहीं पड़ता) और की नियुक्ति कर्ण (समकोण के सामने सबसे लंबे समय तक पक्ष) "सी" नियुक्त करता है।

आप किस पक्ष का पता लगाने का प्रयास कर रहे हैं इसका मान निर्धारित करें: ए, बी, या सी आम तौर पर आपको दो तरफ दिया जाएगा और आपको तीसरे को खोजने के लिए प्रमेय का इस्तेमाल करना होगा।

ज्ञात मूल्यों के साथ समीकरण को फिर से लिखना

यदि आप दो कैथिटेन्स (उदाहरण के लिए 3 और 4) का मान जानते हैं, तो लिखें:
3² + 4² = सी²

यदि आप कैथेटस और कॉम्प्ट्यून्यूज का मान जानते हैं (उदाहरण 3 और 5), तो लिखें:
3² + बी² = 5²

वर्ग की गणना करें

पहला उदाहरण निम्नानुसार लिखा जाना चाहिए: 9 + 16 = सी ²।

दूसरा: 9 + बी² = 25

सदस्यों को जोड़ें

इस मामले में समीकरण के बाईं ओर के सभी सदस्य संख्याएं हैं, इसलिए हम उन्हें प्राप्त करने के लिए जोड़ सकते हैं: 25 = c²।

दूसरे उदाहरण में आपको समीकरण के दोनों तरफ से 3 ² को घटाए जाने की आवश्यकता होगी ताकि वे चर को अलग कर सकें।

वर्गमूल बनाओ एक बार जब आप समीकरण के दोनों ओर के वर्गमूल बनाते हैं, तो आप c = 5 के साथ बने रहेंगे।

उदाहरण: मूल्य 10 का एक कर्णराल्प और मूल्य 8 का कैथेटस को देखते हुए, अन्य कैथेटस के मूल्य की गणना करें।

एक² + बी² = सी²

(8) ² + ख² = (10) ²

64 + बी² = 100

बी² = 100 - 64

बी² = 36

बी = 36 का वर्गमूल

बी = 6

उदाहरण: एक सीढ़ी एक इमारत की दीवार के खिलाफ झुकाव है। सीढ़ी का आधार दीवार के आधार से शुरू होने वाले 5 मीटर की दूरी पर है। सीढ़ी महल की दीवार के बीस मीटर तक पहुंचती है। सीढ़ी कितनी देर है?

"दीवार के आधार से 5 मीटर की दूरी" एक = 5 का मतलब है, और "दीवार के बीस मीटर तक पहुँच जाता है" का अर्थ है ख = 20. पैमाने लंबाई कर्ण, तो ग अज्ञात है।

एक² + बी² = सी²

(5) ² + (20) ² = सी²

25 + 400 = सी²

425 = सी²

सी = 425 का वर्गमूल

सी = 20.6 (निकटतम दस में गोल)

तो पैमाने की अनुमानित लंबाई 20.6 मीटर है।

विधि 2
दूरी फॉर्मूला के भाग के रूप में

किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी को जानने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग ज्यामिति में किया जाता है।

निर्धारित करें कि किस बिंदु का उपयोग करें आमतौर पर, अंक क्रमबद्ध जोड़े के रूप में दिए जाते हैं।

चार्ट पर अंक खींचें (एक्स, वाई) जहां x क्षैतिज अक्ष है और y ऊर्ध्वाधर अक्ष है

अपने त्रिकोण के किनारे की लंबाई ढूंढें आप चार्ट पर अंतर की गणना करके या (x का उपयोग करके गणना कर सकते हैं₁ - एक्स₂) के लिए एक्स और (y₁ - y₂) y के लिए

पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करें दो बिंदुओं के बीच की दूरी त्रिकोण का कर्ण कर्ण है।

उदाहरण:

अंक (3,5) और (6,1) का उपयोग करना:

3-6 = -3 (एक्स)

5-1 = 4 (वाई)

(-3) ² + (4) ² = सी²

सी = रूट (9 + 16)

c = root (25)

सी = 5

विधि 3
त्रिकोणमिति का उपयोग न किए गए त्रिकोण में

यह खंड ऊपर उल्लेखित दो शहरों का उदाहरण लेता है: इस मामले में आपको शहर ए और शहर सी के बीच की दूरी का मूल्य मिलना होगा।
इस अभ्यास के लिए, मान लें कि कैथेटर ए और बी ज्ञात हैं (नीचे चित्र देखें)।

अपने त्रिकोण को खींचें

ऊंचाई आकर्षित करें ऊंचाई बराबर है जो विपरीत कर्ण से गुजरने वाले कर्ण के लिए लंबवत रेखा है। इस मामले में ऊंचाई "सी" है

सिटी ए से शहर बी और ऊंचाई रेखा को जोड़ने वाली रेखा के बीच के कोण को मापें।

आम तौर पर इन प्रकार की समस्याओं में कोण दिया जाएगा। अन्यथा, एक प्रक्षेपक का उपयोग करके कोण को मापें।

ऊँचाई की लंबाई को खोजने के लिए कोसाइन त्रिकोणमितीय कार्य का उपयोग करें:यदि लंबाई "a" ज्ञात है, तो: कॉस (ए) = सी / ए और सी = ए कॉस (ए)

शहर ए से शुरू होने वाली रेखा की लंबाई और ऊंचाई तक पहुंचने के लिए पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करें:
x1 = रूट (ए² - सी²)

ऊंचाई और शहर के बीच की दूरी को खोजने के लिए पायथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें सी: x2 = रूट (बी² - सी²)

एक्स 1 और एक्स 2 की राशि बनाएं

उदाहरण: उदाहरण: शहर ए में रहते हैं और एक दोस्त है जो शहर में रहते हैं और आप जानना चाहते हैं कि आपका मित्र आपके जीवन से कितने दूर रहता है। आप जानते हैं कि शहर बी 50 मील की दूरी पर है और वहां से एक और 100 मील दूर है। शहर सी से शहर कितनी दूर है? (निकटतम दसवीं तक सभी गणना करता है)

ऊंचाई को आकर्षित करें और कोण को मापें

ऊंचाई की लंबाई को खोजने के लिए कोसाइन फ़ंक्शन का उपयोग करें:
लंबाई = 50 x कॉस (30) = 50 x 866 गोल 43.3 मील तक

पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग एक्स 1 की लंबाई को खोजने के लिए करें:
x1 = रूट (50² - 43.3²) = रूट (625.11) = 25.0 मील

पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग एक्स 2 दूरी की लंबाई को जानने के लिए करें:
x2 = रूट (100² - 43.3²) = रूट (8125,1) = 90.1 मील

कुल दूरी को खोजने के लिए दो दूरी जोड़ें:
x1 + x2 = 25 + 90.1 = 115.1 मील

विधि 4
वेक्टर परिवेश में

पाइथागॉरियन प्रमेय का परिणाम परिणामी वैक्टर की गणना करने के लिए किया जाता है। यह वैक्टर को घटकों "x" और "y" (और तीसरे में "z") में विभाजित करके और घटकों के रूप में जोड़कर किया जा सकता है। जिसके परिणामस्वरूप घटकों (सही त्रिकोण के cathets) का परिणामस्वरूप (हाइपोटिन्यूज) की गणना के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

वैक्टर को एक्स और वाई घटकों में विभाजित करें। वैक्टर के पास एक दिशा और एक परिमाण है: दिशा कोण है जो सकारात्मक अक्ष से शुरू की जा रही विपरीत दिशा में बनाई गई है- परिमाण वेक्टर की लंबाई है घटकों में वेक्टर को विभाजित करने के लिए, आपको त्रिकोणमिति का उपयोग करना होगा। उदाहरण के लिए, "एम" आकार वाला एक वेक्टर और "30" कोण:

x = एम * कॉस (30)
वाई = एम * पाप (30)

घटकों को जोड़ें अब जब वैक्टर को एक्स और वाई घटकों में विघटित किया जाता है, तो एक्स घटकों का योग और y घटकों का योग करें। ये त्रिकोण के कैथेट हैं

पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करें इस मामले में (एक्स का योग) ² + (योग का योग) ² = सी², जहां "सी" परिणामस्वरूप परिमाण है।

उदाहरण:

जोड़ वैक्टर (10.30) और (15.45):

[10 सीओस (30) + 15 सीओएस (45)] = 1 9 .27 (निकटतम सौ तक गोल) # * (एक्स)

[10 सीन (30) + 15 सिन (45)] = 15.61 (निकटतम सौ तक गोल) # * :( y)

(1 9 .27) ² + (15.61) ² = सी²

सी = रूट (371.332 9 + 243.6721)

c = root (615.005)

सी = 24.80

टिप्स

यदि त्रिकोण सीधे नहीं है, तो आपको दो कैथिटे की लंबाई की तुलना में अधिक जानकारी की आवश्यकता होगी।
कर्ण हमेशा होता है:

दाहिने कोने से सटे (इसे स्पर्श न करें)
सही त्रिकोण के सबसे लंबे समय तक पक्ष
पायथागॉरियन प्रमेय में "c" के साथ बदलता है

जड़ (एक्स) का अर्थ है "x का वर्गमूल"

यदि आपके पास केवल एक कैथेटस का आकार है, तो पाइथागोरस प्रमेय काम नहीं करेगा। त्रिकोणमिति या 30-60-90 / 45-45-90 रिपोर्टों का उपयोग करने का प्रयास करें

डायरेग्राइज ए, बी और सी को सही तरीके से निर्दिष्ट करने की चाबी हैं। यदि आप किसी पाठ के साथ समस्या पर काम कर रहे हैं, तो इसे एक आरेख में पहली बार अनुवाद करना सुनिश्चित करें

अपने काम को एक से अधिक बार जांचना याद रखें। अगर जवाब सही नहीं लगता, तो फिर से प्रयास करें।

एक और जांच - सबसे लंबे समय तक पक्ष व्यापक कोने के विपरीत होगा और छोटे पक्ष छोटे कोने के सामने होंगे।

सामाजिक नेटवर्क पर साझा करें:

संबद्ध