हाथ से सेट मैंडेलब्रॉट कैसे तैयार करें

मंडलब्रॉट सेट में एक जटिल विमान पर खींचा अंक होते हैं ताकि एक भग्न

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अधिक विकी कैसे

: एक प्रभावशाली ज्यामितीय आंकड़ा जहां प्रत्येक भाग पूरे की एक छोटी प्रति है यह सोलहवीं सदी के बाद से मैंडलब्रॉट के सेट में आकर्षक छिपा तस्वीरें देखने के लिए संभव हो गया था, समझ है कि वह काल्पनिक संख्याओं की राफ़ील बोम्बेली था करने के लिए धन्यवाद ... लेकिन यह केवल था बेनोइट मैंडलब्रॉट और दूसरों की मदद से भग्न का पता लगाने के लिए शुरू किया के बाद कंप्यूटर कि यह गुप्त ब्रह्मांड अनावरण किया गया था।

अब जब कि हम इसके अस्तित्व का पता लगाते हैं, हम इसके साथ एक "आदिम" तरीके से निपट सकते हैं: हाथ से! यहां यह समझने का एकमात्र उद्देश्य है कि आप पूरी तरह से किसी न किसी तरह का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है - फिर आप उन प्रस्तुतियों का बेहतर मूल्यांकन कर सकते हैं जो आप उपलब्ध कई खुले स्रोत कार्यक्रमों का उपयोग कर सकते हैं या जिसे आप देख सकते हैं सीडी-रोम और डीवीडी.

कदम

मूल सूत्र को समझें, जिसे अक्सर व्यक्त किया जाता है z = z² + ग. इसका मतलब यह है कि, मैंडेलब्रॉट ब्रह्मांड में हर बिंदु के लिए हम देखना चाहते हैं, हम मूल्य की गणना करना जारी रखते हैं z जब तक कि दो स्थितियों में से कोई भी नहीं होता है - तब हम यह दिखाते हैं कि हमने कितने गणना की थी। चिंता मत करो! यह निम्नलिखित चरणों में सभी स्पष्ट हो जाएगा।

पैटर्न का पता लगाने के लिए तीन पेंसिल, क्रेयोन या विभिन्न रंगों के चिह्नक, एक काले रंग की पेंसिल या पेन लें। कारण है कि हमें तीन रंगों की आवश्यकता है कि हम तीन से अधिक तीन पुनरावृत्तियों के साथ पहली सन्निकटन करेंगे (या अन्य शब्दों में: प्रत्येक बिंदु के लिए सूत्र को तीन बार लागू करना):

खींचना के साथ लेखनी ब्लैक के लिए एक बड़ी टेबल Tris तीन वर्गों में से तीन के लिए, एक टुकड़े पर कागज़.

मार्क (हमेशा काला) केंद्रीय वर्ग (0,0). यह निरंतर मान है (ग) के वर्ग के सही केंद्र में बिंदु मान लें कि अब प्रत्येक वर्ग 2 यूनिट चौड़ा है, फिर राशि और / या 2 से मूल्य / से घटाना एक्स और y हर वर्ग का, जा रहा है एक्स और y क्रमशः पहली और दूसरी संख्या एक बार यह किया जाता है, परिणाम यहां दिखाया गया होगा। क्षैतिज रूप से कोशिकाओं के बाद, y (दूसरे नंबर) के मूल्य अपरिवर्तित होंगे - उन्हें अनुलंब रूप से अनुसरण करके, एक्स (प्रथम संख्या) के मूल्य होंगे।

पहले चरण की गणना करें, या यात्रा, सूत्र का कंप्यूटर की तरह (वास्तव में, इस शब्द का मूल अर्थ है "व्यक्ति जो गणना करता है"), आप अकेले इसे करने में सक्षम हैं चलो इन मान्यताओं से शुरू करें:

प्रत्येक वर्ग के z का प्रारंभिक मूल्य (0,0) है जब किसी बिंदु के लिए z के पूर्ण मूल्य 2 से बड़ा या बराबर होता है, तो यह कहा जाता है कि उस बिंदु (और उसके संबंधित वर्ग) भाग गए मंडलब्रॉट सेट से इस मामले में, आप उस बिंदु पर लागू किए गए सूत्र के पुनरावृत्तियों की संख्या के अनुसार वर्ग को रंग देंगे।

चरण 1, 2 और 3 के लिए उपयोग किए जाने वाले रंगों को चुनें। मान लें, इस आलेख के प्रयोजनों के लिए, क्रमशः लाल, हरे और नीले रंग के होते हैं।

0 + 0i या (0,0) के z के प्रारंभिक मूल्य को मानते हुए, ट्राइस के लिए तालिका के ऊपरी बाएं कोने के लिए z के मान की गणना करता है (इन अभ्यावेदनों की बेहतर समझ के लिए टिप्स देखें)। हम सूत्र का उपयोग कर रहे हैं z = z² + ग, जैसा कि पहले मार्ग में वर्णित है। आप जल्द ही यह महसूस करेंगे कि, इस मामले में, z²+ग यह बस है ग, क्योंकि शून्य वर्ग हमेशा शून्य होता है। और यह क्या है? ग इस वर्ग के लिए? (-2.2)।

इस बिंदु का पूर्ण मूल्य निर्धारित करता है - एक जटिल संख्या का पूर्ण मूल्य (ए, बी) का वर्गमूल है² + ख². चूंकि हम इसे ज्ञात मूल्य के साथ तुलना करेंगे 2, हम तुलना करके वर्ग जड़ों की गणना से बच सकते हैं² + ख² 2 के साथ², कि हम जानते हैं कि के बराबर है 4. इस गणना में, ए = -2 और बी = 2

([-2]² + 2²) =

(4 + 4) =

8, जो 4 से अधिक है

पहली गणना के बाद, वह मैंडेलब्रॉट संग्रह से भाग गया, क्योंकि इसका पूर्ण मूल्य 2 से अधिक है। यह आपके द्वारा पहले चरण के लिए चुना गया पेंसिल के साथ रंग लगाएं।

तालिका के प्रत्येक वर्ग के लिए ऐसा मत करो, मध्य के अलावा, जो तीसरे चरण (और न ही यह कभी नहीं) द्वारा निर्धारित मंडलब्रॉट से बच नहीं पाएगा। तो आपने केवल दो रंगों का प्रयोग किया: सभी बाहरी वर्गों के लिए पहला मार्ग और केंद्रीय वर्ग के लिए तीसरे मार्ग का

चलो तीन बार बड़ा वर्ग बनाना, 9 9 की, लेकिन हम अधिकतम तीन पुनरावृत्तियों को बनाए रखते हैं।

शीर्ष से तीसरी पंक्ति के साथ शुरू करो, क्योंकि यह वह जगह है जहां बात तुरंत दिलचस्प हो जाती है

पहला तत्व (-2.1) 2 से बड़ा है (क्योंकि (-2)² + 1² 5 हो जाती है), तो आइए इसे लाल रंग से रंग दें, क्योंकि यह पूरे मैंडेलब्रॉट से पहले मार्ग में बच जाता है।

दूसरा तत्व (-1.5,1) 2 से बड़ा नहीं है। पूर्णांक के लिए सूत्र को लागू करना, एक्स²+y², एक्स = -1.5 और y = 1 के साथ:

(-1.5)² = 2, .25

1² = 1

2.25 + 1 = 3.25, 4 से कम, इसलिए वर्गमूल 2 से कम है।

फिर हमारे दूसरे चरण के साथ आगे बढ़ें, जेड की गणना करें²+सी शॉर्टकट के माध्यम से (एक्स²-y², 2xy) z के लिए² (यह शॉर्टकट कहाँ से लिया गया है, यह समझने के लिए युक्तियाँ देखें), फिर से x = -1.5 और y = 1 के साथ:

(-1.5)² - 1² 2.25 - 1 बन जाता है, जो `` 1.25 हो जाता है-

2xy, क्योंकि एक्स -1.5 और y 1 है, यह 2 (-1.5) हो जाता है, इसलिए `` `-3.0` ``;

यह हमें एक z देता है² का (1.25, -3)

अब जोड़ें ग इस बॉक्स के लिए (राशि x से x, y से y) प्राप्त करने (-0.25, -2)

अब चलिए देखते हैं कि इसका पूर्ण मूल्य 2 से अधिक है। एक्स की गणना करें² + y²:

(-0.25)² = 0.0625

-2² = 4

0.0625 + 4 = 4.0625, जिसका वर्गमूल 2 से बड़ा है, इसलिए इसे दूसरी यात्रा के बाद भाग गया: हमारा पहला हरा!

जब आप गणना से परिचित होते हैं, तो आप कभी-कभी यह समझ पाएंगे कि कौन से नंबर मैंडेलब्रॉट सेट से एक नज़र में भाग रहे हैं। इस उदाहरण में, वाई तत्व 2 के परिमाण, जो, के बाद चुकता जा रहा है और अन्य वर्ग संख्या को जोड़ा गया है, 4. कोई भी संख्या से अधिक हो जाएगा 4 से अधिक 2. देखें का एक बड़ा वर्गमूल होगा अधिक विस्तृत व्याख्या के लिए नीचे दी गई टिप्स

तीसरा तत्व, ग के साथ (-1.1) का मूल्य, पहले चरण में भाग नहीं लेता है: चूंकि 1 और -1 दोनों, वर्ग को ऊपर उठाया गया है, हमेशा 1, x²+y² 2 है। फिर हम z की गणना करते हैं²+सी, शॉर्टकट के बाद (एक्स²-y², 2xy) z के लिए²:

(-1)²-1² 1-1 हो जाता है, जो 0 है;

2xy इसलिए है 2 (-1) = -2;

z² = (0, -2)

सी जोड़ने हम प्राप्त (0, -2) + (-1,1) = (-1, -1)

यह पहले से ही एक समान पूर्ण मूल्य है (2 का वर्गमूल, लगभग 1.41) - एक तीसरा पुनरावृत्ती के साथ जारी है:

([-1]²) - ([- 1]²) 1-1 हो जाता है, जो 0 (फिर) है ...

लेकिन अब 2xy 2 (-1) (- 1) है, जो 2 सकारात्मक है, जो z देता है² का मूल्य (0.2)

सी जोड़ने हम प्राप्त (0.2) + (-1.1) = (-1.3), जो एक एक है² + ख² 10 की, बहुत अधिक 4

इसलिए यह नंबर भी दूर चला जाता है। अपने तीसरे रंग, नीले, और, के साथ बॉक्स को रंग दें, क्योंकि हम इस बिंदु के साथ तीन पुनरावृत्त पूरे कर चुके हैं, अगले एक पर जाएं

अपने आप को केवल तीन रंगों के इस्तेमाल से सीमित करना एक समस्या है, क्योंकि यहां केवल तीन चलती है (0,0), जो भाग नहीं रहा है कभी- जाहिर है, विस्तार के इस स्तर पर, हम कभी भी कुछ भी नहीं देख पाएंगे "कीड़े" मंडलब्रॉट का

प्रत्येक बॉक्स की गणना करना जारी रखें जब तक यह बच नहीं है या आप अधिकतम संख्या में पुनरावृत्तियों (आप उपयोग कर रहे रंगों की संख्या: तीन, इस उदाहरण में) तक नहीं पहुंचे, जिस स्तर पर आप इसे रंग देंगे यहां बताया गया है कि 9 से 9 का मैट्रिक्स प्रत्येक वर्ग में तीन पुनरावृत्तियों के बाद दिखाता है ... जाहिर है, हम कुछ खोज रहे हैं!

अगले कुछ स्तरों को दिखाने के लिए अन्य रंगों (पुनरावृत्तियों) के साथ एक ही मैट्रिक्स दोहराएं या बेहतर अभी भी, एक लंबी अवधि की परियोजना के लिए एक बहुत बड़ा मैट्रिक्स बनाएं! आप अधिक सटीक चित्र प्राप्त कर सकते हैं:

मोंडेलजन_81_81_0_0_1_rgb_fast_533 शीर्षक वाली छवि

बक्से की संख्या में वृद्धि - यह प्रत्येक पक्ष के लिए 81 है। शीर्ष पर मैट्रिक्स 9 9 के साथ समानता को नोट करें, लेकिन सर्कल और अंडाकार के अधिक गोल किनारों पर भी ध्यान दें।

मोंडेलजन_81_81_0_0_1_rgb2black_fast_797 शीर्षक वाली छवि

रंगों की संख्या बढ़ाना (पुनरावृत्तियों) - इसमें लाल, हरे और नीले रंग के 256 रंग हैं, कुल 3 7 के बजाय 768 रंगों के लिए। नोट करें कि इस मामले में आप अच्छी तरह से ज्ञात की रेखा देख सकते हैं "झील" (या "कीड़े", मैंडेलब्रॉट के बारे में यह निर्भर करता है कि आप इसे कैसे मानते हैं) यह नुकसान उस समय की मात्रा है- यदि आप 10 सेकंड में प्रत्येक पुनरावृत्ति की गणना कर सकते हैं, तो मंडलब्रॉट झील के पास या उसके निकट प्रत्येक बॉक्स के लिए लगभग दो घंटे लगेंगे। यद्यपि यह 81 मैट्रिक्स के लिए 81 का एक अपेक्षाकृत छोटा हिस्सा है, संभवतः पूरा होने में एक साल लग सकता है, भले ही हम दिन में कई घंटे काम करते हैं। यहां पर जहां सिलिकॉन कंप्यूटर उपयोगी हो जाते हैं

टिप्स

क्योंकि z² = (एक्स²-y², 2xy)?
को गुणा करना दो जटिल संख्याएं जैसे (ए, बी) के साथ (सी, डी), निम्न सूत्र का उपयोग करें, इस में समझाया गया है Mathworld लेख: (ए, बी) (सी, डी) = (एसी - बीडी, बीसी + विज्ञापन)
याद रखें कि एक जटिल संख्या एक भाग से बना है "असली" और एक से "काल्पनिक"- उत्तरार्द्ध एक वास्तविक संख्या है जो 1 नकारात्मक के वर्गमूल, जिसे अक्सर कहा जाता है, से गुणा किया जाता है . उदाहरण के लिए, जटिल संख्या (0,0) 0 + 0i है, और (-1, -1) है (-1) + (-1 * i)
क्या आप अभी भी हमारा अनुसरण कर रहे हैं? याद रखें कि शर्तें को और ग वे कर रहे हैं रॉयल्टी, जब ख और घ वे कर रहे हैं काल्पनिक. इसलिए, जब काल्पनिक शब्दों को गुणा किया जाता है, तो अपने द्वारा गुणा नकारात्मक 1 का वर्गमूल 1 नकारात्मक देता है, नतीजा रद्द करता है और इसे नकारात्मक बनाता है। असली- इसके विपरीत, संख्याएं को और बीसी वे काल्पनिक रहते हैं, क्योंकि नकारात्मक 1 का वर्गमूल अभी भी ऐसे उत्पादों का एक शब्द है। नतीजतन, एसी बीडी भाग का गठन करते हैं असली, जबकि बीसी + उस पर काल्पनिक.
चूंकि हम दो अलग-अलग लोगों को गुणा करने की बजाए संख्या स्क्वायर कर रहे हैं, हम थोड़ा सा सरल बना सकते हैं - चूंकि ए = सी और बी = डी, हमारे पास उत्पाद (ए²-ख², 2AB)। और, क्योंकि हम इस संबंध को जोड़ रहे हैं "जटिल योजना" एक "कार्तीय विमान"अक्ष के साथ, एक्स जो प्रतिनिधित्व करता है "असली" और अक्ष y जो प्रतिनिधित्व करता है"काल्पनिक", हम इसे इसके बारे में भी वर्णन करेंगे (एक्स²-y², 2xy).
यदि आप बार-बार एक बॉक्स की गणना कर रहे हैं और आपको पता है कि एक परिणाम ठीक उसी मैच के लिए मिला है, तो आप जानते हैं कि आपने एक अनंत वृत्त दर्ज किया है - वह बॉक्स कभी नहीं भाग जाएगा! फिर आप एक शॉर्टकट ले सकते हैं, बॉक्स को अपने अंतिम रंग के साथ रंग दें और आगे बढ़ें - (0,0) अर्थात, इनमें से एक बक्से।
गणना के साथ संघर्ष किए बिना जटिल संख्या के पूर्ण मूल्य का निर्धारण करने के बारे में अधिक जानना चाहते हैं?
एक जटिल संख्या का पूर्ण मूल्य (ए, बी) एक का वर्गमूल है² + ख², उसी के रूप में आयताकार त्रिभुज का सूत्र, क्योंकि को और ख वे एक दूसरे के दाहिनी कोण पर कार्टेशियन ग्रिड (क्रमशः एक्स और वाई निर्देशांक) पर प्रदर्शित होते हैं नतीजतन, क्योंकि हम जानते हैं कि मैंडेलब्रॉट सेट 2 के मान तक सीमित है, और 2 का वर्गफल 4 है, हम केवल एक्सरे से देखते हुए वर्ग की जड़ों की सोच से बच सकते हैं।²+y² >= 4
यदि एक के cathets में से एक त्रिकोण आयत लंबाई में है >= 2, तब भी कर्ण (विकर्ण पक्ष) 2 से अधिक लंबा होना चाहिए। यदि आपको समझ में नहीं आता है, तो एक कार्टेशियन जाली पर कुछ आयताकार त्रिकोण खींचना और यह स्पष्ट हो जाएगा - या इसे इस प्रकार देखें: 2²= 4 और, अगर हम इस पर एक और सकारात्मक संख्या जोड़ते हैं (वर्ग में ऋणात्मक संख्या को ऊपर उठाने पर हमेशा एक सकारात्मक संख्या देता है), हम ऐसा कुछ नहीं प्राप्त कर सकते हैं कम से कम 4. इस प्रकार, यदि जटिल संख्या के एक्स या वाई घटक 2 से अधिक या उससे अधिक के बराबर है, तो इस संख्या का पूर्ण मूल्य 2 के बराबर या उससे अधिक है, और मैंडेलब्रॉट सेट से बच गया है।
गणना करने के लिए "आभासी चौड़ाई" प्रत्येक बॉक्स का, द्विगुणित करें "आभासी व्यास" के लिए "बक्से की संख्या शून्य से एक"। उपरोक्त उदाहरणों में हम 4 के एक आभासी व्यास का उपयोग करते हैं, क्योंकि हम 2 के दायरे के भीतर सब कुछ दिखाना चाहते हैं (मैंडेलब्रॉट सेट 2 के मूल्य से सीमित है)। साइड 3 के सन्निकटन के लिए, यह साथ मेल खाता है 4 / (3 - 1), वह है 4/2, जो बदले में मेल खाती है 2. साइड 9 वर्ग के लिए, यह है 4 / (9 - 1), वह है 4/8, जो बदले में `` `` 0.5 `` से मेल खाता है ऊँचाई और चौड़ाई दोनों के लिए बॉक्स का एक ही आभासी आयाम का प्रयोग करें, भले ही आप एक तरफ दूसरे की तुलना में अधिक करें- अन्यथा पूरी तरह से विकृत हो जाएगा।

चेतावनी

मठ व्यसनी हो सकता है, कुछ और की तरह, लेकिन यह शायद आपके जिगर को नुकसान नहीं पहुंचाएगा या फेफड़ों के कैंसर का कारण नहीं होगा।

अधिक विकी कैसे

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