अपोलीलाइन सील कैसे बनाएं
अपोलीलाइन सील एक प्रकार का फ्रैक्टल इमेज है, जो सर्कल द्वारा गठित होती है जो धीरे-धीरे एक बड़े सर्कल में निहित होती है। Apollinea सील में प्रत्येक मंडली है "स्पर्शरेखा" आसन्न सर्कल के लिए - दूसरे शब्दों में, ये सर्कल अनगिनत छोटे बिंदुओं में एक-दूसरे को छूते हैं। गणितज्ञ अपोलोनियस ऑफ पेर्गा के सम्मान में अपोलिनिया सील को कॉल करें, इस तरह के फ्रैक्टल को एक उचित स्तर की जटिलता (हाथ या कंप्यूटर के साथ) लाया जा सकता है और एक अद्भुत और प्रभावशाली छवि बनती है आरंभ करने के लिए चरण 1 पढ़ें
कदम
भाग 1
कुंजी अवधारणाओं को समझें"स्पष्ट होने के लिए: यदि आप बस में रुचि रखते हैं "खींचना" एक अपोलिना सील, फ्रैक्टल के पीछे झूठ बोलने वाले गणितीय सिद्धांतों को देखने के लिए आवश्यक नहीं है। हालांकि, यदि आप अपोललाइनिया सील को अच्छी तरह से समझना चाहते हैं, तो यह महत्वपूर्ण है कि आप अलग-अलग अवधारणाओं की परिभाषा को समझें जो हम चर्चा में उपयोग करेंगे।"
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प्रमुख शब्दों को परिभाषित करें निम्न निर्देश नीचे दिए गए निर्देशों में उपयोग किए जाते हैं:
- एपोलालाइनिया सील: एक ऐसा नाम जो कि फ्रैक्टल के एक प्रकार पर लागू होता है जिसमें एक बड़े सर्कल के भीतर नेस्टेड मंडल की एक श्रृंखला होती है और एक दूसरे के स्पर्शरेखा होता है। ये भी कहा जाता है "Zolle की तलाश करें" या "Bacianti की तलाश में"।
- एक वृत्त का त्रिज्या: एक वृत्त के केंद्रीय बिंदु और उसके परिधि के बीच की दूरी, जिस पर वेरिएबल आमतौर पर सौंपा जाता है "आर"।
- एक चक्र की वक्रता: समारोह, सकारात्मक या नकारात्मक, त्रिज्या के लिए व्युत्क्रम, या ± 1 / r. बाहरी वक्रता की गणना करते समय वक्रता सकारात्मक होती है, आंतरिक वक्रता की गणना करते समय नकारात्मक।
- स्पर्शरेखा: एक शब्द, लाइनों, विमानों और आकृतियों पर लागू होता है जो एक अन्तर्निहित बिंदु पर काटना होता है। अपोललाइन सील्स में, यह इस तथ्य को दर्शाता है कि प्रत्येक सर्कल एक ही बिंदु में सभी पड़ोसी हलकों को छूती है। ध्यान दें कि कोई चौराहें नहीं हैं - स्पर्शरेखा रूप ओवरलैप नहीं करते हैं।
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डेसकार्टेस प्रमेय को समझें अपोलिनिया सील में मंडलियों के आयामों की गणना के लिए डेकार्तेस प्रमेय एक उपयोगी सूत्र है। यदि हम किसी भी तीन सर्किलों के वक्रताएँ (1 / आर) को परिभाषित करते हैं - क्रमशः "को", "ख" और "ग" - स्पर्शरेखा सर्कल के तीनों को वक्रता (जो हम कॉल करेंगे "घ") है: d = a + b + c ± 2 (sqrt (एक × b + b × c + c × a)).
भाग 2
एपोलालाइनिया सील का निर्माण"Apollinee जवानों के चक्रों की भव्य भग्न व्यवस्था का रूप है जो धीरे-धीरे सिकुड़ रहे हैं। गणितीय, अपोललाइन सील्स असीम रूप से जटिल हैं, लेकिन, या तो एक ड्राइंग प्रोग्राम का उपयोग करके या हाथ से ड्राइंग करके, आप एक बिंदु पर पहुंच सकते हैं जहां छोटी मंडलियों को आकर्षित करना असंभव होगा। अधिक सटीक मंडलियां हैं, जितना अधिक आप gaskets के साथ भरने में सक्षम होंगे।"
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अपने ड्राइंग वादन, एनालॉग या डिजिटल तैयार करें नीचे दिए गए चरणों में, हम एक सरल अपोलिलाइन सील करेंगे। अपोलिना सील को हाथ से या कंप्यूटर द्वारा आकर्षित करना संभव है दोनों ही मामलों में, सही सर्कल बनाने की कोशिश करें यह काफी महत्वपूर्ण है क्योंकि Apollinea सील में प्रत्येक सर्कल उन सर्किलों के बिल्कुल स्पर्शरेखा हैं जो इसके करीब हैं - इसके लिए थोड़ा सा अनियमित लग सकते हैं और आपके अंतिम उत्पाद को बर्बाद कर सकते हैं।
- यदि आप अपने कंप्यूटर पर आरेखण कर रहे हैं, तो आपको एक प्रोग्राम की आवश्यकता होगी जो आपको केंद्र बिंदु से एक निश्चित त्रिज्या के साथ आसानी से आकर्षित करने की अनुमति देता है। आप Gfig का उपयोग कर सकते हैं, एक एक्सटेंशन जो कि वे वैक्टर के लिए जीमैप, एक मुफ्त छवि संपादन प्रोग्राम, साथ ही अन्य ड्राइंग प्रोग्राम्स के असंख्य (कुछ उपयोगी लिंक के लिए सामग्री अनुभाग देखें) के लिए डिजाइन करता है। आपको संभवत: एक कैलकुलेटर और कुछ और किरणों और curvatures को रिकॉर्ड करने की आवश्यकता होगी।
- हाथ से मुहर लगाने के लिए आपको एक वैज्ञानिक कैलकुलेटर, एक पेंसिल, एक कम्पास, एक शासक (अधिमानतः मिलिमीटर पैमाने के साथ), कुछ पेपर और नोटपैड की आवश्यकता होगी।
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एक बड़े वृत्त के साथ आरंभ करें पहला काम आसान है - बस उस बड़े वृत्त को खींचें जो पूरी तरह गोल हो। सर्कल जितना अधिक बड़ा होगा, मुहर अधिक जटिल होगा, इसलिए किसी सर्कल को आकर्षित करने की कोशिश करें, जिस पृष्ठ पर आप चित्रित कर रहे हैं।
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मूल एक के अंदर एक छोटे वृत्त को एक तरफ स्पर्श करें। फिर छोटे एक के अंदर एक और चक्र खींचें दूसरे सर्कल के आयाम आपके लिए निर्भर करते हैं - कोई सटीक आयाम नहीं हैं। हालांकि, हमारे उद्देश्यों के लिए, हम दूसरे सर्कल को आकर्षित करते हैं जिससे कि इसका केंद्र बिंदु बड़े वृत्त त्रिज्या के मध्य में हो।
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एक समान चक्र बनाएं जो कि छोटे वृत्त को पार करता है। इसके बाद, हम एक और चक्र खींचना चाहते हैं जो पहले पार हो जाती है। यह चक्र बाहरी और आंतरिक दोनों ओर स्पर्शरेखा होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि दोनों आंतरिक हलकों का आकार बड़े से एक हो जाएगा।
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अगले मंडलों के आयामों को खोजने के लिए डेकार्ट्स प्रमेय को लागू करें एक पल के लिए ड्राइंग बंद करो याद रखें कि डेसकार्टेस प्रमेय है d = a + b + c ± 2 (sqrt (एक × b + b × c + c × a)), जहां ए, बी और सी आपके तीन स्पर्शरेखा हलकों की घुमक्कड़ हैं। इसलिए, अगले चक्र के त्रिज्या को खोजने के लिए, हम पहले तीन चक्रों में से प्रत्येक के वक्रता को खोजते हैं, जिसे हमने पहले से ही खींचा है ताकि हम अगले सर्कल के वक्रता प्राप्त कर सकें, और फिर इसे परिवर्तित कर सकते हैं और त्रिज्या पा सकते हैं।
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मंडलियों का अगला सेट बनाएं त्रिज्या मूल्य का उपयोग करें जिसे आप अभी अगले दो सर्किलों को आकर्षित करने के लिए मिला है। याद रखें कि ये उन मंडलियों के स्पर्शरेखा होंगे जिनके curvatures ए, बी और सी का उपयोग डेसकार्ट्स थियरेम के लिए किया गया था। दूसरे शब्दों में, वे मूल मंडल और दूसरी हलकों दोनों के स्पर्शरेखा होंगे। इन तीन चक्रों को स्पर्शरेखा बनाने के लिए, आपको उन्हें बड़े सर्कल क्षेत्र के रिक्त स्थान में आकर्षित करना होगा।
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इस तरह से मंडलियों को जोड़ते रहें क्योंकि वे भग्न हैं, अपोलोनियाई जवानों को असीम जटिल हैं इसका मतलब यह है कि आप क्या चाहते हैं इसके आधार पर आप हमेशा छोटे जोड़ सकते हैं। आप केवल अपने उपकरणों की सटीकता (या, यदि आप कंप्यूटर का उपयोग कर रहे हैं, अपने ड्राइंग कार्यक्रम की ज़ूमिंग क्षमता) से सीमित हैं। प्रत्येक चक्र, चाहे कितना भी छोटा हो, अन्य तीनों के स्पर्शरेखा होना चाहिए निम्नलिखित सर्कल को आकर्षित करने के लिए, तीन सर्किलों के वक्रवें का उपयोग करें, जिसमें वे डेसकार्ट्स प्रमेय में स्पर्शरेखा होंगे। फिर, नए सर्कल को सही ढंग से आकर्षित करने के लिए उत्तर का उपयोग करें (जो नई सर्कल का त्रिज्या होगा)
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एक चुनौती के रूप में, दूसरी सर्कल के आयाम को बदलकर गैर-सममित अपोलीलाइन सील बनाने की कोशिश करें। सभी अपोलिने सील्स उसी तरह से शुरू होती हैं - एक बड़े बाहरी सर्कल के साथ जो फ्रैक्टल के किनारे के रूप में कार्य करता है। हालांकि, ऐसा कोई कारण नहीं है कि आपके दूसरे सर्कल में एक त्रिज्या होना चाहिए जो पहले आधा है - हमने ऐसा इसलिए किया क्योंकि यह समझना आसान है। मज़े के लिए, विभिन्न आकारों के दूसरे सर्कल के साथ एक नई मुहर शुरू करें यह आपको अन्वेषण के रोमांचक नए अवसरों पर ले जाएगा।
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