कैसे एक कट्टरपंथी सरल करने के लिए

एक कट्टरपंथी एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें इसमें मूल प्रतीक (वर्ग, घन या उच्चतर) शामिल है। प्रायः, ये अभिव्यक्ति उसी संख्या का वर्णन करती है भले ही वे बहुत अलग रूप में दिखाई दें (उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति

सामग्री

कदम

विधि 1
विधि 2
विधि 3
विधि 4
विधि 5
विधि 6

टिप्स

12-1{ displaystyle { frac {1} {{ sqrt {2}} - 1}}} यह बराबर है

{ displaystyle { sqrt {2}} + 1}

)। सही दृष्टिकोण, जब कणिक (या गणितीय अभिव्यक्ति जिसमें उन्हें होते हैं) के साथ काम करते हैं, उन्हें परिभाषित करने की कोशिश में या उन्हें वापस लाने के लिए उनके "प्रामाणिक रूप"। यदि, उनके विहित रूप में दो बीजीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के बाद, वे अभी भी भिन्न दिखाई देते हैं, इसका अर्थ यह है कि वे वास्तव में अलग हैं। गणितज्ञों का मानना है कि जिन नियमों में कणिक और बीजगणितीय अभिव्यक्तियां हैं उन्हें इन नियमों का सम्मान करना चाहिए।

जड़ प्रतीक के भीतर भिन्न नहीं होना चाहिए;
आंशिक प्रतिपादकों का उपयोग नहीं किया जाना चाहिए;
रेडिकल्स को अंश के हर में मौजूद नहीं होना चाहिए;
एक दूसरे कट्टरपंथी के लिए एक कट्टरपंथी गुणा नहीं होना चाहिए;
कोई रूट नहीं जड़ के भीतर मौजूद होना चाहिए

यह सरल गाइड उपयोगी हो सकता है जब आपको परीक्षणों से निपटने की आवश्यकता होती है जो कई उत्तरों के साथ प्रश्न प्रदान करते हैं। प्रस्तावित समस्या के समाधान की पहचान करने के बाद, अगर उत्तरार्द्ध समस्या के पाठ के द्वारा प्रदान की गई किसी के साथ मेल नहीं खाता है, तो बस इसे एक प्रामाणिक रूप में दोबारा लिखने का प्रयास करें चूंकि विशेषज्ञों ने परीक्षा परीक्षाएं तैयार की हैं, सामान्यतः कैननियॉलिक फॉर्म में प्रस्तावित समस्याओं के समाधान की रिपोर्ट करें, वैसे ही आप देखेंगे कि अगर आपका जवाब सही है, तो यह प्रस्तावित प्रस्तावित प्रस्ताव के समान दिखाई देगा। मुफ्त प्रतिक्रिया परीक्षणों में, जैसे भाव "आपके समाधान को सरल बनाएं" या "यह सभी कणों को सरल बनाने के लिए आवश्यक है" उनका मतलब है कि इस गाइड में वर्णित चरणों को ऊपर दिखाए गए विहित रूप में गणना किए गए समाधानों को लिखना आवश्यक है। समीकरणों के साथ काम करते समय भी प्रामाणिक रूप का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन इस मामले में यह एक गैर-वैमानिक रूप का उपयोग करना आसान हो सकता है।

कदम

यदि आवश्यक हो, तो रैडिकल के प्रबंधन से संबंधित गणितीय नियमों की समीक्षा करें शक्तियों (यह वही तर्क है, क्योंकि कट्टरपंथी वास्तव में आंशिक शक्तियां हैं) दिए गए हैं कि यह इस लेख की सामग्री को पूरी तरह से समझने के लिए एक मौलिक विषय है। यह बहुपदों के प्रबंधन और सरलीकरण के लिए सिद्धांतों की समीक्षा करता है और तर्कसंगत अभिव्यक्ति, चूंकि वे सरलीकरण करने के लिए गणित में मौलिक हैं।

विधि 1

बिल्कुल सही शक्तियां

किसी भी कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरल बनाएं जो एक पूर्ण वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है। शब्द के साथ "पूर्ण वर्ग" हम अपने लिए किसी भी संख्या के उत्पाद का उल्लेख करते हैं: उदाहरण 81 9 9 का उत्पाद 9 है। इस मामले में सरलीकरण बहुत सरल है, क्योंकि यह मूल प्रतीक को खत्म करने और उस संख्या की रिपोर्ट करने के लिए पर्याप्त है जो वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करता है परीक्षा के तहत पूर्ण वर्ग के

उदाहरण के लिए, 121 एक आदर्श वर्ग है क्योंकि यह 11 x 11 का उत्पाद है। फिर आप अभिव्यक्ति की जगह ले सकते हैं ${ displaystyle { sqrt {121}}}$ संख्या 11 के साथ
इस प्रक्रिया को सीखने को और आसान बनाने के लिए, पहले बारह शुद्ध वर्गों की श्रृंखला को याद रखना आवश्यक है: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25 , 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144

किसी संपूर्ण क्यूब का प्रतिनिधित्व करने वाले किसी भी कट्टरपंथी को सरल बनाएं एक पूर्ण घन किसी भी संख्या के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है जो अपने आप से दो बार गुणा करता है। उदाहरण के लिए, 27 3 x 3 x 3 का नतीजा है। एक आदर्श क्यूब का प्रतिनिधित्व करने वाले कट्टरपंथियों को सरल बनाने के लिए, बस रूट साइन को हटाना और उस नंबर की रिपोर्ट करें जो सही घन के घनक रूट को दर्शाती है।

उदाहरण के लिए, संख्या 343 एक परिपूर्ण घन है क्योंकि यह 7 x 7 x 7 के उत्पाद से आती है। इसलिए 343 का घनफल रूट केवल 7 है।

विधि 2

तर्कसंगत एक्सपोनेंट के साथ एक शक्ति को एक कट्टरपंथी रूप में परिवर्तित करें

यदि आप चाहें, तो आप व्युत्क्रम रूपांतरण कर सकते हैं, जो एक कट्टरपंथी को एक शक्ति में बदलना है (कभी-कभी इस प्रकार के संचालन के लिए अच्छे कारण हैं) - महत्त्वपूर्ण बात आंशिक और कट्टरपंथी घातांकियों के साथ शक्तियों का उपयोग नहीं करना है, जैसे कि उदाहरण ${ displaystyle { sqrt {5}} + 5 ^ { frac {3} {2}}}$ , एक एकल अभिव्यक्ति के भीतर यह आलेख मानता है कि आप रूट नोटेशन का उपयोग करने और अभिव्यक्ति का उपयोग करने का निर्णय लेते हैं ${ displaystyle { sqrt {n}}}$ के वर्गमूल को इंगित करने के लिए ${ displaystyle n}$ और ${ displaystyle { sqrt [{3}] {एन}}}$ के घन के रूट को इंगित करने के लिए ${ displaystyle n}$ .

सभी आंशिक घाटियों का पता लगाएँ और उन्हें निम्नलिखित पहचान का उपयोग करके संबंधित कट्टरपंथी रूप में परिवर्तित करें ${ displaystyle x ^ { frac {a} {b}} = { sqrt [{बी}] {x}} ^ {a}}$ .

यदि आपके पास आंशिक सूचकांक के साथ एक रूट है, तो इस प्रकार के शब्दों को भी सरल बनाने का प्रयास करें उदाहरण के लिए, ${ displaystyle { sqrt [{ frac {2} {3}}] {4}}}$ यह जैसे लिखा जा सकता है ${ displaystyle ({ sqrt {4}}) ^ {3}}$ वह यह है कि ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ , जो 8 के बराबर है

निम्न प्रतियों का उपयोग करके नकारात्मक एक्सपेंन्टेंट के साथ अपने समकक्ष आंशिक रूप में शक्तियां परिवर्तित करें ${ displaystyle x ^ {- y} = { frac {1} {x ^ {y}}}}$ .

यह सिद्धांत केवल स्थिर और तर्कसंगत प्रतिपादकों पर लागू होता है। यदि आपके पास एक शब्द है तो

{ displaystyle 2 ^ {x}}

, इसे अपने मूल रूप में छोड़ दें, भले ही समस्या का संदर्भ इंगित करता हो

{ displaystyle x}

यह एक आंशिक या नकारात्मक एक्सपोनेंट हो सकता है

एक-दूसरे के साथ समान पदों को मिलाएं फिर किसी भी कट्टरपंथी को सरल बनाने के लिए जो इस ऑपरेशन से परिणाम है।

विधि 3

रेडिकल्स से फ्रेक्शंस को समाप्त करें

कट्टरपंथियों के प्रामाणिक रूप में पूर्णांक की जड़ों का एक अंश के रूप में एक अंश की जड़ को व्यक्त करना आवश्यक है

उन भिन्न कट्टरपंथियों की जांच करें जिन पर आप काम कर रहे हैं उन लोगों की पहचान करने के लिए जिनके पास अंश हैं।

यदि वे भिन्न प्रस्तुत करते हैं, तो उन्हें निम्न पहचान का उपयोग करके दो विशिष्ट कणों से बना अंश के साथ प्रतिस्थापित करें:

{ displaystyle { sqrt { frac {a} {b}}} = { frac { sqrt {a}} { sqrt {बी}}}}

इस प्रतिस्थापन को न करें यदि अंश का निगेटिव ऋणात्मक है या यदि यह एक चर अभिव्यक्ति है जिसका मूल्य नकारात्मक हो सकता है इस मामले में, यह अंश को सरल बनाने के साथ शुरू होता है

पिछले चरण से उत्पन्न सभी आदर्श वर्गों को सरल बनाने के द्वारा जारी रखें। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति

{ displaystyle { sqrt { frac {5} {4}}}}

इसे फिर से लिखा जा सकता है

{ displaystyle { frac { sqrt {5}} { sqrt {4}}}}

, जो इन्हें सरलीकृत किया जा सकता है

{ displaystyle { frac { sqrt {5}} {2}}}

उदाहरण के लिए, समस्या के अंतिम समाधान तक पहुंचने के लिए कोई अन्य उपयोगी सरलीकरण करें जटिल भिन्नों को कम करें, समान शर्तों, आदि को जोड़ना

विधि 4

रेडिकल्स के बीच गुणा करना

यदि आपको गणितीय अभिव्यक्ति का सामना करना है जिसमें रैडिकल के बीच एक उत्पाद है, उन्हें एक एकल कट्टरपंथी प्राप्त करने के लिए गठबंधन इस संपत्ति का उपयोग कर:

{ displaystyle { sqrt {a}} times { sqrt {b}} = { sqrt {a times b}}}

. उदाहरण के लिए, निम्न गणितीय अभिव्यक्ति को फिर से लिखना

{ displaystyle { sqrt {2}} times { sqrt {6}}}

रूप में

{ displaystyle { sqrt {12}}}

पिछली यात्रा में वर्णित समानता, ${ displaystyle { sqrt {a}} times { sqrt {b}} = { sqrt {a times b}}}$ , यह केवल सकारात्मक रेडिकान्डी के मामले में वैध है अगर यह लागू नहीं किया जा सकता है ${ displaystyle a}$ और ${ displaystyle b}$ वे नकारात्मक हैं, क्योंकि यह गलत तरीके से संकेत करता है कि निम्न समानता सत्य है: ${ displaystyle { sqrt {-1}} times { sqrt {-1}} = { sqrt {1}}}$ . परिभाषा के अनुसार, समीकरण का बाएं हाथ वाला -1 -1 के बराबर है (यदि जटिल संख्याओं का अस्तित्व ज्ञात नहीं है या इनकार नहीं किया जाता है, तो यह मान अपरिभाषित नहीं है), जबकि दाहिनी ओर 1 के बराबर है। अगर radicandi ${ displaystyle a}$ या ${ displaystyle b}$ ऋणात्मक है या यदि वे दोनों हैं, तो सबसे पहले, निम्न नियम का उपयोग करके संकेत को संशोधित करना आवश्यक है: ${ displaystyle { sqrt {-5}} = i times { sqrt {5}}}$ . यदि रेडिकेंडो एक चर अभिव्यक्ति है, जिसका संकेत समस्या के संदर्भ (और इसलिए दोनों सकारात्मक और नकारात्मक हो सकता है) से अनुमानित नहीं किया जा सकता है, समय के लिए, कोई भी कार्य नहीं करें। इस मामले में आप निम्न सामान्य पहचान का उपयोग कर सकते हैं ${ displaystyle { sqrt {a}} times { sqrt {b}} = { sqrt { pm {a}}} times { sqrt { pm {बी}}} times { sqrt} }$ , जो सभी वास्तविक संख्याओं के सेट के लिए मान्य है जो कि द्वारा ग्रहण किए गए हैं ${ displaystyle a}$ और ${ displaystyle b}$ , लेकिन यह सामान्य रूप से रेडिकान्डी के संकेत को प्रबंधित करने की जटिलता को पेश नहीं करता है।
यह पहचान केवल तभी लागू की जा सकती है यदि सभी रैडिकल शामिल एक ही इंडेक्स हैं। सामान्य तौर पर, किसी भी प्रकार के कणों को गुणा करना संभव है, जैसे कि उदाहरण के लिए ${ displaystyle { sqrt {5}} times { sqrt [{3}] {7}}}$ , लेकिन आपको पहले उन्हें फिर से लिखना होगा ताकि सभी एक ही सूचकांक हो। ऐसा करने के लिए, आप जड़ों को आंशिक घाटियों के साथ शक्तियों में परिवर्तित कर सकते हैं। हमारे उदाहरण में हम मिलेंगे ${ displaystyle { sqrt} {times} {times} {times} } = 5 ^ { frac {3} {6}} times 7 ^ { frac {2} {6}} = 125 ^ { frac {1} {6}} times 49 ^ { frac {1 {6}}}}$ . इस बिंदु पर, आप गुणा गुणों को अंतिम परिणाम के रूप में प्राप्त करने के लिए आवेदन कर सकते हैं ${ displaystyle { sqrt [{6}] {6125}}}$ .

विधि 5

एक कट्टरपंथी से रूट घटक निकालने

एक अपूर्ण कट्टरपंथी तोड़ो अपने प्रमुख कारकों में कारक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, यदि गुणा किया जाए तो परिणाम के रूप में मूल संख्या दे। उदाहरण के लिए, संख्या 5 और 4 संख्या 20 के दो कारक हैं। अपने कारकों में एक अपूर्ण कट्टरपंथी को तोड़ने के लिए, सभी रेडिकेंडो डिवाइज़र्स को सूचीबद्ध करके शुरू करें (बहुत बड़ी संख्या के मामले में, उन सभी को ध्यान में रखें जो आप कर सकते हैं पहचानने के लिए) जब तक आप कोई ऐसा पहलू नहीं पहचानते हैं जो एक पूर्ण वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है

उदाहरण के लिए, संख्या 45: 1, 3, 5, 9, 15 और 45 के सभी कारकों को सूचीबद्ध करने का प्रयास करें। आप तुरंत नोट करेंगे कि संख्या 9, 45 के एक कारक होने के अलावा, यह भी एक आदर्श वर्ग है क्योंकि ${ डिस्स्टस्टाइल 9 = 3 ^ {2}}$ और ${ displaystyle 9 times 5 = 45}$ .

किसी भी कारक को रूट साइन से निकालें जो एक पूर्ण वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है। नंबर 9 एक आदर्श वर्ग है क्योंकि 9 का परिणाम है

{ displaystyle 3 times 3}

. नंबर 9 को रूट साइन से बाहर निकालें, इसे 3 में बदलकर 5 नंबर के अंदर छोड़ दें। यदि आपको 3 नंबर को जड़ में लाने की आवश्यकता है, तो आपको उसे 9 नंबर में वापस लाने के लिए इसे स्क्वायर में ऊपर उठाना होगा (के मामले में सूचकांक के साथ एक जड़ 2)। इस बिंदु पर, आप मूल रीटिंग प्राप्त करने के लिए 5 से गुणा कर सकते हैं, जो 45 है। अभिव्यक्ति

{ displaystyle 3 { sqrt {5}}}

यह कट्टरपंथी व्यक्त करने का एक आसान तरीका है

{ displaystyle { sqrt {45}}}

पूरी प्रक्रिया इस प्रकार है

{ displaystyle { sqrt {45}} = { sqrt {9 times 5}} = { sqrt {9}} times { sqrt {5}} = 3 { sqrt {5}}}

एक चर के भीतर एक पूर्ण वर्ग के लिए खोजें का वर्गमूल

{ displaystyle a ^ {2}}

यह उसके पूर्ण मूल्य के बराबर होना चाहिए, वह है

displaystyle

. आप कर सकते हैं इसे और अधिक सरल बनाएं बस इशारा करते हुए

{ displaystyle a}

, तभी आप जानते हैं कि इस चर के पास एक सकारात्मक संकेत है अभिव्यक्ति

{ displaystyle { sqrt {एक ^ {3}}}}

में विघटित किया जा सकता है

{ displaystyle { sqrt {a}} times a}

. यह संभव है क्योंकि जब उत्पाद को समान चर के बीच निष्पादित किया जाता है, तो एक्सपोनेंट जोड़ा जाता है, इसलिए

{ displaystyle a ^ {2} times a}

यह बराबर है

{ displaystyle a ^ {3}}

इस से हम उस के भीतर निकाल लेते हैं

{ displaystyle a ^ {3}}

सही वर्ग मौजूद है

{ displaystyle a ^ {2}}

रूट चरों से निकालें जो सभी चर को एक पूर्ण वर्ग का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस बिंदु पर, रूट से बाहर चर को लेना संभव है

{ displaystyle a ^ {2}}

इसे में बदल कर | एक |. का सरलीकृत रूप

{ displaystyle a ^ {3}}

यह है

{ displaystyle | a | { sqrt {a}}}

यह सभी समान शर्तों को जोड़ती है और सरल करता है, जहां संभव है, इस ऑपरेशन से उत्पन्न सभी कट्टरपंथियों।

विधि 6

डेनिमिनेटर को व्यवस्थित करें

कट्टरपंथियों के विहित रूप की आवश्यकता है कि, जहां संभव हो, हर चीज अभिव्यक्ति एक पूर्णांक (या एक बहुपद, यदि वह एक अनिश्चित मान हो) होनी चाहिए।

यदि प्रश्न में अभिव्यक्ति के भाजक मूल के तहत केवल एक शब्द से बना है, जैसे कि ${ displaystyle { frac {{अंकीय}} { sqrt {5}}}}$ , प्राप्त करने के लिए कट्टरपंथी परीक्षा के लिए दोनों अंश और भाजक दोनों को गुणा करना संभव है ${ displaystyle { frac {[अंशार्थी] times { sqrt {5}}} {{ sqrt {5}} times { sqrt {5}}}}}$ = ${ displaystyle { frac {[अंश) times { sqrt {5}}} {5}}}$ .
घन जड़ों या बेहतर सूचकांक के मामले में, हर तरह से सही तरीके से तर्कसंगत बनाने के लिए, उन्हें सही सूचकांक के साथ रूट से गुणा करें। यदि अभिव्यक्ति हर में मौजूद है ${ displaystyle { sqrt [{3}] {5}}}$ , यह अंश और अंश के लिए दोनों के अंश और गुणा करने के लिए आवश्यक होगा ${ displaystyle { sqrt [{3}] {5}} ^ {2}}$ .
यदि भेद राशि या वर्ग जड़ों के अंतर से बना है, उदाहरण के लिए ${ displaystyle { sqrt {2}} + { sqrt {6}}}$ , आपको इसके संयुग्म परिसर के लिए अंश और गुणा गुणा करके आगे बढ़ना होगा, यह एक ही अभिव्यक्ति है, लेकिन जो विपरीत ऑपरेटर का उपयोग करता है आप फिर मिलेंगे ${ displaystyle { frac {{numerator]} {{ sqrt {2}} + { sqrt {6}}}} = { frac {[अंकीय] times ({ sqrt {2}} - { sqrt {6}}}} {({ sqrt {2}} + { sqrt {6}}) times ({ sqrt {2}} - { sqrt {6}})}}}$ . इस बिंदु पर, इस अभिव्यक्ति के भाजक को तर्कसंगत बनाने के लिए, कोई भी वर्ग की जड़ों के बीच के अंतर के सापेक्ष पहचान का सहारा ले सकता है ${ डिस्स्टस्टाइल (ए + बी) (ए-बी) = एक ^ {2} -बी ^ {2}}$ प्राप्त करने के ${ displaystyle ({ sqrt {2}} + { sqrt {6}}) times ({ sqrt {2}} - { sqrt {6}}) = ({ sqrt {2}}) ^ {2} - ({ sqrt {6}}) ^ {2} = 2-6 = -4}$ .
यह दृष्टिकोण भाजक के मामले में कार्यात्मक है जैसे ${ displaystyle 5 + { sqrt {3}}}$ यह भी क्योंकि हर पूर्ण संख्या को दूसरे पूर्णांक के वर्गमूल के रूप में देखा जा सकता है। यहां एक व्यावहारिक उदाहरण है: ${ displaystyle { frac {1} {5 + { sqrt {3}}}} = { frac {5 - { sqrt {3}}} {(5 + { sqrt {3}}) बार (5 - { sqrt {3}}}}} = { frac {5 - { sqrt {3}}} {5 ^ {2} - { sqrt {3 ^ {2}}}}} { frac {5 - { sqrt {3}}} {25-3}} = { frac {5 - { sqrt {3}}} {22}}}$
यह विधि भी वर्ग जड़ों की एक संख्या के मामले में काम करती है, जैसे कि ${ displaystyle { sqrt {5}} - { sqrt {6}} + { sqrt {7}}}$ . यदि कणिकों को निम्नलिखित तरीके से समूहीकृत किया जाता है ${ displaystyle ({ sqrt {5}} - { sqrt {6}}) + { sqrt {7}}}$ और प्राप्त की गई अभिव्यक्ति को गुणा किया जाता है ${ displaystyle ({ sqrt {5}} - { sqrt {6}}) - { sqrt {7}}}$ , अंतिम समाधान एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, लेकिन प्रपत्र के अनुरूप होगा ${ displaystyle a + b times { sqrt {30}}}$ , जहां यह है ${ displaystyle a}$ दोनों ${ displaystyle b}$ वे तर्कसंगत मूल्य हैं इस बिंदु पर आप संयुग्म परिसर का उपयोग कर प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं ${ displaystyle a + b times { sqrt {30}}}$ , जहाँ ${ displaystyle (a + b times { sqrt {30}}) times (a-b times { sqrt {30}})}$ यह एक तर्कसंगत संख्या है दूसरे शब्दों में, यदि आप इस चरण को किसी अंश के हरसंभव में मौजूद कणों की संख्या को कम करने के लिए पहली बार उपयोग कर सकते हैं, तो आप इसे पूरी तरह से सरल बनाने के लिए बार-बार इसका पुनः उपयोग कर सकते हैं।
यह विधि 2 से अधिक सूचकांक के साथ जड़ों से बना हुआ denominators के मामले में भी काम करती है, जैसे कि उदाहरण के लिए ${ displaystyle { sqrt [{4}] {3}} + { sqrt [{7}] {9}}}$ . इस मामले में उत्तरार्द्ध के जटिल संयुग्म के लिए दोनों अंश और दोनों को गुणा करना आवश्यक है। दुर्भाग्यवश, यह स्पष्ट रूप से समझ में नहीं आता है कि यह कैसा है और एक जटिल अभिव्यक्ति की जटिल संयुग्मित कैसे प्राप्त करना जैसे कि एक उदाहरण के रूप में लिया गया है। संख्या सिद्धांत पर एक अच्छी पाठ्यपुस्तक विषय के साथ अधिक विस्तृत और अधिक पूरी तरह से संबंधित है, एक ऐसा पहलू जो इस आलेख के दायरे से बाहर है।

अब अंश के बयान को युक्तिसंगत बना दिया गया है, लेकिन जाहिर तौर पर समस्या को अंश में ले जाया गया है। इस बिंदु पर, हमें उस तत्व का प्रबंधन करने की आवश्यकता है जिसके साथ हमने हर तरह के तर्कसंगत बनाने की प्रक्रिया शुरू की, अर्थात्, इसका जटिल संयुग्म जो प्रश्न के अंश के अंश में पाया जाता है। उत्पाद विकसित करें जैसे आप बहुपदों के बीच एक उत्पाद के साथ करेंगे किसी भी शब्द को पहचानने और निकालने या सरलीकृत करना जारी रखें और जहां संभव हो, उसी लोगों को जोड़ना।

यदि अंश का गुणा एक नकारात्मक पूर्णांक है, तो गुणांक -1 से अंश और दशमलव को एक सकारात्मक संख्या में परिवर्तित करने के लिए गुणा करें।

टिप्स

ऐसी वेबसाइटें हैं, जो एक सरल ऑनलाइन खोज के द्वारा पहचाने जाते हैं, जो स्वचालित रूप से अभिव्यक्तियों को सरल कर सकती हैं जिनमें कणिक शामिल हैं। आप उपयुक्त पाठ फ़ील्ड में मूल प्रतीक के अंदर समीकरण या अभिव्यक्ति को आसानी से टाइप कर सकते हैं - एन्टर की को दबाए जाने के बाद आपको आपकी समस्या का समाधान प्रदान किया जाएगा।
साधारण प्रश्नों के मामले में, इस आलेख में वर्णित कई कदम लागू नहीं किए जा सकते हैं। इसके विपरीत, बहुत जटिल समस्याओं के मामले में, कुछ चरणों को कई बार लागू करना होगा। जैसा कि आप काम करते हैं, लगातार सरलीकरण करने का प्रयास करें "सरल"इसलिए, एक बार समस्या के अंतिम समाधान पर पहुंचे, इस लेख की शुरूआत में रिपोर्ट किए गए कट्टरपंथियों के विहित रूप से संबंधित मानदंडों के साथ इसकी तुलना करें। यदि आपका उत्तर वैधानिक रूप को दर्शाता है, तो काम किया जाता है। अन्यथा, लेख के एक भाग निश्चित रूप से आपको यह दिखाने में सक्षम होगा कि आपके कार्य को कैसे और कैसे सरल बनाने के लिए।
अधिकांश गणितीय समस्याएं जिनके लिए तरजीही उपयोग की आवश्यकता होती है "प्रामाणिक रूप" कणिकों वाले युक्त भावों के बारे में जटिल संख्या भी शामिल हो सकते हैं ( ${ displaystyle i = { sqrt {-1}}}$ )। भले ही जटिल संख्याएं तत्व का उपयोग करें "" मूल प्रतीकों को वापस लाने के बजाय, यह अच्छा है कि उन्हें एक अंश के बंटवारे के अंदर दिखाई देने से बचें।
इस अनुच्छेद में दिए गए निर्देशों का एक हिस्सा विशेष रूप से वर्ग की जड़ों को दर्शाता है। सामान्य नियम क्यूबिक जड़ों या उच्चतर के लिए इस्तेमाल किए जाने वाले समान होते हैं, हालांकि उनमें से कुछ (विशेषकर हरकत के युक्तिकरण) को लागू करना बहुत मुश्किल हो सकता है। आपको यह भी तय करना होगा कि क्या आप अभिव्यक्ति की तरह ही चाहते हैं ${ displaystyle { sqrt [{3}] {4}}}$ या ${ displaystyle { sqrt [{3}] {2 ^ {2}}}}$ .
इस लेख के कुछ भागों में शब्दावली की सूचना दी गई है "प्रामाणिक रूप" गलत तरीके से, क्योंकि वास्तविकता में हम इस बात का जिक्र कर रहे हैं "सामान्य आकार" कट्टरपंथियों का अंतर इस तथ्य में निहित है कि विहित रूप में अभिव्यक्ति वापस लाने की आवश्यकता है ${ displaystyle 1 + { sqrt {2}}}$ या ${ displaystyle { sqrt {2}} + 1}$ और दूसरे को अनुचित के रूप में लेबल करने के लिए। सामान्य रूप का अर्थ है कि पाठक पर्याप्त रूप से तैयार और शानदार है कि वह खुद को पहचान सके कि ये अभिव्यक्ति वास्तव में प्रतिनिधित्व करते हैं "सरल" संख्याएं भले ही उन्हें अलग तरह से लिखे गए हों। शब्दों के साथ "सरल" यह (जैसे अतिरिक्त की क्रमविनिमेयता) संख्या है कि आप केवल गणित के नियमों को लागू कर सकते करने के लिए संदर्भित करता है और नहीं बीजीय (जहां, उदाहरण के लिए, ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ यह समीकरण का सकारात्मक समाधान है ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ )। हमें उम्मीद है कि पाठकों ने शब्दावली के इस मामूली दुरुपयोग को माफ़ कर दिया होगा।
इस गाइड में निर्देश अस्पष्ट या जिस तरह अपने पाठ्य पुस्तक सभी कदम सुसंगत और स्पष्ट लागू करने में कट्टरपंथी चरणों का वर्णन के संबंध में विरोधाभासी, लग रहे हैं और उसके बाद नतीजा यह है कि पाठ के अनुरूप अधिक साबित होता है चुनते हैं, तो अध्ययन का आप उपयोग कर रहे हैं

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