लॉगरिथम कैसे विभाजित करें

पहली नज़र में, लॉगरिदम का उपयोग करना मुश्किल लग सकता है, लेकिन वे शक्तियों या बहुपदों की तरह हैं, आपको सही तकनीकों को सीखना होगा। आपको केवल दो प्राथमिक गुणों की ज़रूरत होती है, जो एक ही आधार के साथ दो लॉगरिदम को विभाजित करती हैं या एक अंश का विस्तार करते हैं

सामग्री

कदम

विधि 1
विधि 2

कदम

विधि 1

लॉगरिदम को मैन्युअल रूप से विभाजित करें

नकारात्मक संख्या या 1 की तलाश में समस्या देखें इस खंड में वर्णित विधि इस प्रपत्र में प्रभागों को हल करने की अनुमति देता है:

{ displaystyle { frac { log _ {b} (x)} { log _ {b} (ए)}}}

- हालांकि, यह कुछ विशिष्ट मामलों के लिए लागू नहीं है:

एक नकारात्मक संख्या का लघुगणक सभी ठिकानों के लिए अनिर्धारित है (उदाहरण के लिए ${ displaystyle log (-3)}$ या ${ displaystyle log _ {4} (- 5)}$ ) - इस मामले में, लिखो "कोई समाधान नहीं";
0 का लघुगणक सभी ठिकानों के लिए अनिर्धारित है और आप इसे पसंद करते हैं ${ displaystyle ln (0)}$ , लिखना "कोई समाधान नहीं";
किसी भी आधार में 1 का लघुगणक ( ${ displaystyle log (1)}$ ) हमेशा शून्य है, यह देखते हुए ${ displaystyle x ^ {0} = 1}$ प्रत्येक के लिए एक्स- नीचे वर्णित विधि का उपयोग करने के बजाय संख्या 0 के साथ लॉगरिदम को बदलना;
यदि दो लॉगरिदमों के पास अलग-अलग कुर्सियां हैं, तो जैसे ${ displaystyle { frac {log_ {3} (x)} {लॉग_ {4} (ए)}}}$ और आप उनमें से एक को एक पूर्णांक के रूप में सरल नहीं कर सकते हैं, समस्या को हाथ से हल नहीं किया जा सकता है

अभिव्यक्ति को लॉगरिदम में कनवर्ट करें यह मानते हुए कि समस्या ऊपर वर्णित मामलों में से एक में फिट नहीं है, आप इसे केवल एक लघुगणक में सरल कर सकते हैं - ऐसा करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें

{ displaystyle { frac { log _ {b} (x)} { log _ {b} (a)}} = log _ {एक} (x)}

पहला उदाहरण: समस्या का समाधान

{ displaystyle { frac { log {16}} { log {2}}}}

.
सबसे पहले, ऊपर वर्णित सूत्र का उपयोग कर अंश को लघुगणक में परिवर्तित करें:

{ displaystyle { frac { log {16}} { log {2}}} = लॉग _ {2} (16)}

यह का सूत्र है "बुनियादी परिवर्तन" जो लॉगरिदम के प्राथमिक गुणों से प्राप्त होता है।

यदि संभव हो तो हाथ से समाधान की गणना करें याद रखें कि हल करने के लिए

{ displaystyle log _ {a} (x)}

आपको सोचना है "

{ displaystyle a ^ {?} = x}

", यह है "मुझे किस तरफ बढ़ना है को पाने के लिए एक्स?"। यह प्रक्रिया हमेशा कैलकुलेटर की मदद के बिना संभव नहीं होती है, लेकिन यदि आप भाग्यशाली हैं, तो आप एक साधारण लॉग में आ सकते हैं

पहला उदाहरण: फिर से लिखना

{ displaystyle log _ {2} (16)}

कैसे

{ displaystyle 2 ^ {?} = 16}

- का मूल्य "?" यह समस्या का समाधान है आप इसे एक परीक्षण और त्रुटि प्रक्रिया के साथ पा सकते हैं:

{ displaystyle 2 ^ {2} = 2 * 2 = 4}

{ displaystyle 2 ^ {3} = 4 * 2 = 8}

{ displaystyle 2 ^ {4} = 8 * 2 = 16}

16 वह परिणाम है जिसके लिए आप तलाश कर रहे थे, फिर का हल

{ displaystyle log _ {2} (16)}

यह है 4.

अगर आप इसे सरल नहीं कर सकते तो उत्तर में लॉगरिदमिक फ़ॉर्म में छोड़ दें। कुछ वास्तव में हाथ से हल करने के लिए बहुत जटिल हैं - यदि आपको व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए कोई नंबर मिलना है, तो आपको कैलकुलेटर का उपयोग करना चाहिए। यदि आप स्कूल की समस्या को हल कर रहे हैं, तो यह संभावना है कि शिक्षक आपको लॉगरिदम के रूप में समाधान छोड़ने की अपेक्षा करता है। यहां एक और जटिल उदाहरण है जो इस विधि का उपयोग करता है:

दूसरा उदाहरण: समाधान का पता लगाएं

{ displaystyle { frac { log _ {3} (58)} { log _ {3} (7)}}}

एक एकल लघुगणक में अंश को चालू करें:

{ displaystyle { frac { log _ {3} (58)} { log _ {3} (7)}} = लॉग _ {7} (58)}

. ध्यान दें कि ₃ प्रत्येक प्रारंभिक लघुगणक के गायब हो जाता है और यह किसी भी आधार के लिए होता है।

इसे रूप में फिर से लिखें

{ displaystyle 7 ^ {?} = 58}

और इसके लिए संभव समाधान की तलाश करें "?":

{ डिस्स्टस्टाइल 7 ^ {2} = 7 * 7 = 49}

{ displaystyle 7 ^ {3} = 49 * 7 = 343}}

चूंकि 58 लगातार दो शक्तियों के बीच गिरता है, इसका समाधान

{ displaystyle log _ {7} (58)}

यह एक पूर्णांक नहीं है

छोड़ना

{ displaystyle log _ {7} (58)}

एक उत्तर के रूप में

विधि 2

फ़्राज़ीओन के साथ लॉगरिदम

उस विभाजन से शुरू करें जो लॉगरिदम के अंदर है। इस आलेख के इस खंड में आपको सिखाता है कि समस्याओं को हल करने के लिए कैसे अभिव्यक्तियां शामिल हैं:

{ displaystyle log _ {a} ({ frac {x} {y}})}

उदाहरण के लिए, विचार करें:
"के लिए हल "n" अगर ${ displaystyle log _ {3} ({ frac {27} {6n}}) = - 6- लॉग _ {3} (6)}$ "।

नकारात्मक संख्याओं की जांच करें शून्य से कम संख्या का लघुगणक अनिश्चित है "एक्स" या "y" नकारात्मक हैं, सुनिश्चित करें कि समस्या को जारी रखने से पहले हल किया जा सकता है:

अगर "एक्स" या "y" यह नकारात्मक है, कोई समाधान नहीं है;

अगर "एक्स" और "y" वे कर रहे हैं दोनों नकारात्मक, साइन को हटा दें "-" संपत्ति का उपयोग कर:

{ displaystyle { frac {-x} {- y}} = { frac {x} {y}}}

;

नकारात्मक संख्याओं के कोई लॉगरिदम नहीं हैं, इसलिए आप अगले चरण के साथ आगे बढ़ सकते हैं।

दो लघुगणक में भागफल का विस्तार करें एक उपयोगी गुण सूत्र द्वारा वर्णित है:

{ displaystyle log _ {a} ({ frac {x} {y}}) = लॉग _ {a} (x) - log _ {a} (y)}

. दूसरे शब्दों में, एक अंश का लघुगणक अंश संख्या का लघुगणक के बराबर होता है, जो कि भाजक का है।

समानता चिह्न के बायीं ओर शब्दों का विस्तार करने के लिए इस संपत्ति का उपयोग करें:

{ displaystyle log _ {3} ({ frac {27} {6n}}) = लॉग _ {3} (27) - log _ {3} (6n)}

मूल समीकरण में क्या प्राप्त किया गया था इसकी रिपोर्ट करें:

{ displaystyle log _ {3} ({ frac {27} {6n}}) = - 6- लॉग _ {3} (6)}

→

{ displaystyle log _ {3} (27) - log _ {3} (6n) = - 6- log _ {3} (6)}

यदि संभव हो तो लघुगणक को सरल बनाएं यदि अभिव्यक्ति के किसी भी नए लॉग में एक समाधान के रूप में एक पूर्णांक है, तो आप इसे इस स्तर पर सरल कर सकते हैं।

अभी तक माना गया उदाहरण एक नया शब्द है:

{ displaystyle log _ {3} (27)}

. 3 के बाद से³ = 27, आपको सरल बनाना होगा

{ displaystyle log _ {3} (27)}

में 3.

पूरा समीकरण अब के रूप में प्रकट होता है:

{ displaystyle 3- log _ {3} (6n) = - 6- log _ {3} (6)}

चर को अलग करें बस बीजगणित की सभी समस्याओं के रूप में, यह समीकरण के एक तरफ वेरिएबल में शब्द को अलग करने के लायक है - यह इस समस्या को सरल बनाने के लिए जितनी संभव हो, शब्दों को जोड़ती है।

{ displaystyle 3- log _ {3} (6n) = - 6- log _ {3} (6)}

{ displaystyle 9- log _ {3} (6n) = - log _ {3} (6)}

{ displaystyle log _ {3} (6n) = 9 + log _ {3} (6)}

डिवाइड लॉगरिथम के शीर्षक वाले चित्र चरण 10

आवश्यक होने पर लॉगरिदम के अन्य गुणों का लाभ उठाएं शेष समीकरण से चर को अलग करने के लिए, शब्दों का उपयोग करके शब्दों को फिर से लिखें विभिन्न गुण उसी का

ऊपर दिए गए उदाहरण में, n यह अभी भी है "फंस" शब्द के अंदर

{ displaystyle log _ {3} (6n)}

.
चर को अलग करने के लिए, लॉगरिदम के बीच उत्पाद की संपत्ति का उपयोग करें:

{ displaystyle log _ {a} (bc) = log _ {a} (b) + लॉग {a} (c)}

{ displaystyle log _ {3} (6n) = log _ {3} (6) + log _ {3} (n)}

पूरा समीकरण में क्या पाया गया:

{ displaystyle log _ {3} (6n) = 9 + log _ {3} (6)}

{ displaystyle log _ {3} (6) + log _ {3} (n) = 9 + log _ {3} (6)}

जब तक आप समाधान नहीं मिलते, सरलीकरण जारी रखें एक ही बीजीय और लघुगणक तकनीकों को दोबारा दोहराएं, जब तक आप परिणाम तक नहीं पहुंच जाते। यदि यह पूर्णांक नहीं है, तो कैलकुलेटर ई का उपयोग करें समाधान दौर सबसे महत्वपूर्ण दशमलव के लिए

{ displaystyle log _ {3} (6) + log _ {3} (n) = 9 + log _ {3} (6)}

{ displaystyle log _ {3} (n) = 9}

3 के बाद से⁹ = 1 9 683, n = 1 9683.

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