रैखिक डायोफैंटिन समीकरण को कैसे हल करें I

डायोफैंटिन (या डायोफैंटिन) समीकरण एक बीजीय समीकरण होता है, जिनके समाधान की मांग की जाती है जिसके लिए चर संपूर्ण मूल्यों पर लेते हैं। में सामान्य

हालांकि, डायोफैंटिन समीकरण रैखिक टाइप करें ax + by = c, नीचे वर्णित एल्गोरिथ्म का आसानी से हल किया जा सकता है। इस विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं (4,7) समीकरण 31 के एकमात्र सकारात्मक समाधान के रूप मेंएक्स + 8y = 180. मॉड्यूलर अंकगणित में विभाजन को रैखिक डायोफेंट समीकरणों के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 12/7 (mod 18) समाधान 7 की आवश्यकता हैएक्स = 12 (मोड 18) और 7 के रूप में फिर से लिखा जा सकता हैएक्स = 12 + 18y या 7एक्स - 18y = 12. हालांकि कई डायोफेंटाइन समीकरण हल करना कठिन हैं, फिर भी आप इसे एक कोशिश दे सकते हैं।

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लागू यूक्लिडियन एल्गोरिथम गुणांक एक और बी के लिए यह दो कारणों के लिए कार्य करता है सबसे पहले, हम यह जानना चाहते हैं कि ए और बी में एक आम विभाजक है। अगर हम हल करने की कोशिश कर रहे हैं 4एक्स + 10y = 3, हम तुरंत यह बता सकते हैं कि चूंकि बाईं ओर हमेशा भी होता है और सही पक्ष हमेशा अजीब है, समीकरण के लिए कोई पूर्ण समाधान नहीं है। उसी तरह, यदि हमारे पास 4 हैएक्स + 10y = 2, हम 2 को सरल कर सकते हैंएक्स + 5y = 1। दूसरा कारण तथ्य में निहित है, यह दर्शाता है कि एक समाधान है, हम यूक्लिडियन एल्गोरिथम द्वारा प्राप्त उद्धरण के अनुक्रम से एक का निर्माण कर सकते हैं।

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अगर को, ख और ग एक सामान्य विभाजक है, विभाजक द्वारा दाएं और बाएं भाग को विभाजित करके समीकरण को सरल करता है। अगर को और ख उनके बीच एक सामान्य विभाजक है लेकिन यह भी एक विभाजक नहीं है ग, फिर बंद करो कोई पूर्ण समाधान नहीं है

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उपरोक्त तस्वीर में दिखाए गए अनुसार तीन-पंक्ति तालिका का निर्माण

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तालिका की पहली पंक्ति में लिखें, यूक्लिडियन एल्गोरिथम से प्राप्त उद्धरण। उपरोक्त छवि से पता चलता है कि समीकरण 87 को हल करके आपको क्या मिलेगाएक्स - 64y = 3

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पिछले दो पंक्तियों को इस प्रक्रिया के बाद बाएं से दाएं भरें: प्रत्येक सेल के लिए, उस कॉलम के शीर्ष पर स्थित प्रथम सेल के बीच उत्पाद की गणना करें और खाली कक्ष के बाईं ओर तुरंत सेल। इस उत्पाद को खाली कक्ष में और बाईं ओर दो कोशिकाओं के मान लिखें।

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पूर्ण तालिका के अंतिम दो स्तंभ देखें। अंतिम स्तंभ में होना चाहिए को और ख, चरण 3 से समीकरण के गुणांक (यदि नहीं, तो अपनी गणना फिर से देखें) उपर्युक्त स्तंभ में दो अन्य संख्याएं शामिल होंगी। उदाहरण के साथ में को = 87 ई ख = 64, उपरांत कॉलम में 34 और 25 हैं

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ध्यान दें कि (87 * 25) - (64 * 34) = -1 नीचे दाईं ओर स्थित 2x2 मैट्रिक्स का निर्धारक हमेशा 1 या -1 होगा। अगर यह ऋणात्मक है, तो यह समानता के दोनों पक्षों को -1 से प्राप्त करने के लिए गुणा करता है- (87 * 25) + (64 * 34) = 1. यह अवलोकन, एक समाधान बनाने के लिए शुरुआती बिंदु है।

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मूल समीकरण पर लौटें पिछली यात्रा की समानता या 87 * (-25) + 64 * (34) = 1 या 87 * (-25) -64 * (-34) = 1 में, जो भी अधिक है, में फिर से लिखें मूल समीकरण उदाहरण के लिए, दूसरी पसंद बेहतर है क्योंकि यह -64 शब्द को संतुष्ट करता हैy मूल समीकरण का जब y = -34

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केवल अब हमें शब्द पर विचार करना चाहिए ग समीकरण के सही हिस्से में चूंकि पिछले समीकरण एक के लिए एक समाधान दर्शाता हैएक्स + खy = 1, दोनों भागों के द्वारा गुणा करें ग प्राप्त करना (सीएक्स) + बी (सीy) = सी। यदि (-25, -34) 87 का समाधान हैएक्स - 64y = 1, फिर (-75, -102) 87 का समाधान हैएक्स-64y = 3

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यदि एक रैखिक डायोफैंटिन समीकरण का समाधान होता है, तो उसके पास अनन्त समाधान होते हैं इसका कारण यह है किएक्स + खy = को (एक्स+बी) + बी (y-ए) = एक (एक्स+2 बी) + बी (वाई -2 ए), और सामान्य तौर पर एकएक्स + खy = को (एक्स+कश्मीरबी) + बी (y-कश्मीरक) प्रत्येक कश्मीर पूर्णांक के लिए इसलिए, (-75, -102) 87 के समाधान हैएक्स-64y = 3, अन्य समाधान हैं (-11, -15), (53.72), (117.159) आदि। सामान्य समाधान के रूप में लिखा जा सकता है (53 ​​+ 64कश्मीर, 72 + 87कश्मीर) जहां कश्मीर यह पूरी संख्या है