द्वितीय डिग्री असमानताओं को हल करने के लिए
दूसरी डिग्री असमानता का शास्त्रीय रूप है: कुल्हाड़ी
2 + bx + ग < 0 (ओ > 0)। असमानता को सुलझाने का अर्थ अज्ञात के मूल्यों को प्राप्त करना है एक्स जिसके लिए असमानता सही साबित हुई है - ये मान समाधानों के सेट का गठन करते हैं, जो अंतराल के रूप में व्यक्त होता है। 3 मुख्य विधियां हैं: सीधी रेखा और सत्यापन बिंदु पद्धति, बीजीय पद्धति (सबसे सामान्य) और चित्रमय एककदम
भाग 1
द्वितीय डिग्री असमानताओं को हल करने के चार कदम 1
चरण 1 एक ट्रिनीमियल फ़ंक्शन में असमानता को ट्रांसफ़ॉर्म करें f (
एक्स) छोड़ दिया और दाएं पर 0 छोड़ दें।
- उदाहरण। असमानता: एक्स(6एक्स + 1) < 15 इस तरह एक trinomial में तब्दील हो जाता है: च (एक्स) = 6एक्स2 + एक्स - 15 < 0।
2
चरण 2 वास्तविक जड़ों को प्राप्त करने के लिए द्वितीय डिग्री समीकरण का समाधान करें। सामान्य तौर पर, एक दूसरा डिग्री समीकरण शून्य हो सकता है, एक या दो वास्तविक जड़ें। आप कर सकते हैं:
द्वितीय डिग्री समीकरणों, या द्विघात सूत्र (यह हमेशा काम करता है) के अनुरुप सूत्र का उपयोग करेंकारकों में विघटित (यदि जड़ें तर्कसंगत हैं)वर्ग को पूरा करें (हमेशा काम करता है)ग्राफ़ खींचना (सन्निकटन से)परीक्षण से आगे बढ़ें (कारक अपघटन के लिए शॉर्टकट)3
चरण 3 दो वास्तविक जड़ों के मूल्यों के आधार पर दूसरी डिग्री असमानता को हल करें।
आप निम्न विधियों में से एक चुन सकते हैं:विधि 1: सीधी रेखा और सत्यापन बिंदु पद्धति का उपयोग करें। 2 असली जड़ें संख्याओं की रेखा पर चिह्नित होती हैं और इसे एक सेगमेंट और दो किरणों में विभाजित करती हैं। सत्यापन बिंदु के रूप में हमेशा मूल O का उपयोग करें दिए गए द्विघात असमानता में एक्स = 0 बदलें। यदि यह सत्य है, तो मूल को सही खंड (या त्रिज्या) पर रखा गया है।ध्यान दें। इस पद्धति के साथ, आप एक चर में 2 या 3 वर्ग की असमानताओं के सिस्टम को हल करने के लिए दोहरी रेखा या एक तिहरी रेखा का उपयोग कर सकते हैं।विधि 2. यदि आप बीजीय विधि का चयन किया है, तो च (एक्स) के संकेत पर प्रमेय का प्रयोग करें। एक बार प्रमेय के विकास का अध्ययन करने के बाद, इसे विभिन्न दूसरे क्रम असमानताओं को हल करने के लिए लागू किया जाता है।एफ (x) के संकेत पर प्रमेय:2 असली जड़ों के बीच, एफ (एक्स) में एक के विपरीत संकेत हैं- जिसका अर्थ है कि:2 असली जड़ों के बीच, एफ (x) सकारात्मक है अगर एक नकारात्मक है2 असली जड़ों के बीच, एफ (x) नकारात्मक है अगर एक सकारात्मक हैआप प्रमेय को परबोल के बीच के चौराहों, फ़ंक्शन एफ (एक्स) के ग्राफ, और एक्स के अक्षों को देखकर प्रमेय को समझ सकते हैं। यदि कोई सकारात्मक है, तो डिश ऊपर की तरफ़ इशारा कर रहा है। एक्स के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदुओं के बीच, परबोल का एक हिस्सा एक्स के अक्षों के नीचे होता है, जिसका अर्थ है कि एफ (एक्स) इस अंतराल में नकारात्मक है (एक के विपरीत को)।यह विधि लाइन नंबर की तुलना में तेज़ हो सकती है क्योंकि आपको इसे हर बार आकर्षित करने की आवश्यकता नहीं होती है। इसके अलावा, यह बीजीय दृष्टिकोण के माध्यम से द्वितीय-क्रम असमानता प्रणाली के संकल्प के लिए संकेतों की एक तालिका स्थापित करने में सहायता करता है।4
चरण 4 अंतरालों के रूप में समाधान (या समाधान सेट) व्यक्त करें
अंतराल के उदाहरण:(ए, बी), खुला अंतराल, 2 चरम सीमाओं ए और बी शामिल नहीं हैं[ए, बी], बंद अंतराल, 2 चरम शामिल हैं(अनंत, बी), आधा बंद अंतराल, चरम बी शामिल है।नोट 1. यदि दूसरी डिग्री असमानता की कोई वास्तविक जड़ नहीं है, (डेल्टा भेदभाव < 0), एफ (एक्स) हमेशा सकारात्मक (या हमेशा नकारात्मक) के संकेत के आधार पर है को, जिसका अर्थ है कि समाधान का सेट या तो खाली होगा या वास्तविक संख्या की पूरी रेखा का गठन होगा। यदि इसके बजाय भेदभाव डेल्टा = 0 (और इसलिए असमानता एक डबल जड़ है), समाधान हो सकता है: खाली सेट, एकल बिंदु, वास्तविक संख्या {R} शून्य से एक बिंदु या वास्तविक संख्या के पूरे सेट की स्थापना की।उदाहरण: हल एफ (एक्स) = 15x ^ 2 - 8x + 7 > 0।समाधान। भेदभावपूर्ण डेल्टा = बी ^ 2 - 4 सी = 64 - 420 < 0. कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। जैसा कि एक सकारात्मक है, च (x) हमेशा सकारात्मक होता है (> 0) एक्स के मूल्यों की परवाह किए बिना असमानता हमेशा सच हैउदाहरण: हल करें f (x) = -4x ^ 2 - 9x - 7 > 0।समाधान। भेदभावपूर्ण डेल्टा = 81 - 112 < 0. कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं। चूंकि एक ऋणात्मक है, च (x) हमेशा नकारात्मक है, एक्स के मूल्यों की परवाह किए बिना। असमानता हमेशा सच नहीं हैनोट 2. असमानता भी एक चिह्न (=) (और अधिक से अधिक और के बराबर या उससे कम के बराबर) के बराबर होती है शामिल होते हैं तो संकेत मिलता है कि दो चरम सीमाओं के समाधान के सेट में शामिल किए गए हैं के रूप में बंद अंतराल [-4.10] का उपयोग करता है। यदि असमानता सख्ती से अधिक या कड़ाई से कम है, तो खुले अंतराल का उपयोग करें (-4, 10) क्योंकि चरम सीमाएं शामिल नहीं हैं।भाग 2
उदाहरण 1 1
समाधान: 15 > 6एक्स2 + 43एक्स.
2
असमानता को एक ट्रिनीमियल में बदल दें f (एक्स) = -6एक्स2 - 43एक्स + 15 > 0।
3
पुनः प्रयासों के लिए एफ (एक्स) = 0 का समाधान करें।
संकेतों का नियम कहता है कि 2 जड़ों के विपरीत लक्षण हैं यदि निरंतर अवधि और गुणांक एक्स2 उनके विपरीत संकेत हैंसंभावित समाधानों के सेट लिखें: {-3/2, 5/3}, {-1/2, 15/3}, {-1/3, 15/2} संख्याओं का उत्पाद निरंतर शब्द (15) है और निरूपणकों का उत्पाद शब्द का गुणांक है एक्स2: 6 (हमेशा सकारात्मक denominators)।दूसरे अंश के साथ गुणा किए जाने वाले पहले निचले भाग के दूसरे संप्रदाय द्वारा गुणा करने वाले पहले अंश को जोड़कर, जड़ों, संभावित समाधानों के प्रत्येक समूह के क्रॉस-योग की गणना करता है। इस उदाहरण में, क्रॉस रम्स (-3) * (3) + (2) * (5) = 1, (-1) * (3) + (2) * (15) = 27 और (-1) * (2) + (3) * (15) = 43. चूंकि समाधान जड़ों की पार की गई राशि के बराबर होना चाहिए -ख* साइन (को) जहां बी गुणांक है एक्स और को का गुणांक है एक्स2, हम तीसरे सेट का चयन करेंगे लेकिन हमें दोनों समाधानों को बाहर करना होगा 2 असली जड़ें हैं: {1/3, -15/2}4
असमानता को हल करने के लिए प्रमेय का उपयोग करें 2 वास्तविक जड़ों के बीच
f (एक्स) सकारात्मक है, इसके विपरीत के लिए संकेत को = -6 इस श्रेणी के बाहर, f (एक्स) नकारात्मक है चूंकि मूल असमानता की एक संकीर्ण असमानता थी, इसलिए चरम सीमाओं को बाहर करने के लिए यह खुला अंतराल का उपयोग करता है, जहां एफ (एक्स) = 0समाधान का सेट अंतराल है (-15 / 2, 1/3)।भाग 3
उदाहरण 2 1
समाधान: एक्स (6x + 1) < 15।
2
इसमें असमानता को चालू करें: f (x) = 6x ^ 2 + x - 15 < 0।
3
दो जड़ों के विपरीत संकेत हैं
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संभावित जड़ों को लिखें: (-3 / 2, 5/3) (-3 / 3, 5/2)
पहले सेट का विकर्ण राशि 10 - 9 = 1 = बी है।2 असली जड़ें 3/2 और -5 / 3 हैं5
असमानता को हल करने के लिए संख्या रेखा विधि चुनें
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सत्यापन बिंदु के रूप में ओ मूल चुनें असमानता में एक्स = 0 बदलें। यह बाहर आता है: - 15 < 0. यह सच है! मूल इसलिए सच खंड पर स्थित है और समाधान का सेट अंतराल (-5 / 3, 3/2) है।
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विधि 3 ग्राफ़ को चित्रित करके दूसरी डिग्री की असमानताओं को हल करें।
ग्राफिक विधि की अवधारणा सरल है जब पैराबोला, फ़ंक्शन एफ (एक्स) का ग्राफ, एक्स के अक्ष (या अक्ष) से ऊपर है, तो त्रिमितीय सकारात्मक होता है, और इसके विपरीत, जब नीचे है, ऋणात्मक है। दूसरी डिग्री असमानताओं को हल करने के लिए आपको सही पैराबाला चार्ट को आकर्षित करने की आवश्यकता नहीं होगी। 2 असली जड़ों के आधार पर, आप यहां तक कि अनुमानित स्केच भी बना सकते हैं। सिर्फ यह सुनिश्चित करें कि पकवान ठीक से नीचे या ऊपर की ओर इंगित कर रहा हैइस पद्धति से आप 2 या 3 की असमानताओं के तंत्र को हल कर सकते हैं, उसी निर्देशांक प्रणाली पर 2 या 3 पैराबॉल्स का ग्राफ़ खींच सकते हैं।टिप्स
- परीक्षाओं या परीक्षाओं के दौरान, उपलब्ध समय हमेशा सीमित रहता है और आपको जितनी जल्दी हो सके समाधानों का पता लगाना होगा। हमेशा सत्यापन बिंदु के रूप में मूल x = 0, (जब तक कि 0 एक रूट नहीं है), के रूप में वहाँ अन्य अंकों के साथ जांच करने के लिए समय नहीं है चुनते हैं, और न ही दूसरी डिग्री के समीकरण में कारकों विघटित, संयोजित जोड़े में 2 असली जड़ें, या दो द्विपदों के लक्षणों पर चर्चा करते हैं।
- ध्यान दें। परीक्षण, या परीक्षा एकाधिक विकल्प उत्तर वाले संरचित है, और प्रयोग विधि का एक विवरण की आवश्यकता नहीं है, तो यह असमानता द्विघात बीजीय विधि हल करने के लिए सलाह दी जाती है क्योंकि यह तेजी से होता है और रेखा के ड्राइंग की आवश्यकता नहीं है।
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