अपेक्षित मान की गणना कैसे करें

संभव परिणाम की एक सूची बनाओ इस तरह आप खेल के संभावित परिणामों की एक उपयोगी सूची होगी। उदाहरण में हमने माना कि छह संभावनाएं हैं, जो नंबर 1 हैं और आप 10 यूरो, नंबर 2 खो देते हैं और आप 10 यूरो, नंबर 3 खो देते हैं और आप 10 यूरो, नंबर 4 खो देते हैं और आप 10 यूरो, नंबर 5 खो देते हैं और आप 10 यूरो जीतते हैं, संख्या 6 और 20 यूरो कमाते हैं

प्रत्येक परिणाम के लिए बाधाओं को निर्धारित करता है इस मामले में वे सभी छह संभावित संख्याओं के लिए समान हैं जब आप एक छह तरफा मरते हैं, तो संभावना है कि दी गई संख्या बाहर आ जाएगी 1 में 6। इस वैल्यू को लिखने और गणना करने के लिए सरल बनाने के लिए, आप इसे कैलकुलेटर का उपयोग करके अंश (1/6) से दशमलव तक कर सकते हैं: 0.167 प्रत्येक परिणाम के करीब संभावना लिखें, खासकर यदि आप प्रत्येक परिणाम के लिए भिन्न संभावनाओं के साथ समस्या हल कर रहे हैं

प्रत्येक परिणाम के लिए मूल्य लिखें संभावना से प्रत्येक मरने वाले नंबर से संबंधित धन की राशि की गुणा करें कि वह बाहर आएगा और आप पाएंगे कि कितने यूरो अपेक्षित मूल्य में योगदान करेंगे। उदाहरण के लिए, नंबर 1 से संबंधित "प्रीमियम" -10 यूरो (आप खो जाने के बाद से) और यह संभावना है कि यह मान 0.167 है। इस कारण से नंबर 1 से जुड़े आर्थिक मूल्य (-10) * (0.167) है।

ईवेंट के अनुमानित मूल्य को खोजने के लिए विभिन्न परिणामों को एक साथ जोड़ें। पिछले उदाहरण को ध्यान में रखने के लिए, पासा खेल का अनुमानित मूल्य है: (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (10 * 0.167) + (20 * 0.167), वह है - 1.67 यूरो इस कारण से, जब आप पासा खेलते हैं, तो आपको प्रत्येक गर्मी में € 1.67 खोना चाहिए।

अपेक्षित मान की गणना के निहितार्थ को समझें उदाहरण में हमने अभी वर्णित किया है, यह दर्शाता है कि हर बार जब आप खेलते हैं तो आपको 1.67 यूरो का नुकसान होने की उम्मीद करनी चाहिए। यह प्रत्येक शर्त के लिए एक असंभव परिणाम है, क्योंकि आप केवल 10 यूरो खो सकते हैं या 10 या 20 कमा सकते हैं। हालांकि, अनुमानित मूल्य एक भविष्यवाणी के लिए एक उपयोगी अवधारणा है, जो दीर्घकालिक, खेल का औसत परिणाम है। आप खेल के लागत (या लाभ) के रूप में भी अपेक्षित मूल्य पर विचार कर सकते हैं: आपको केवल तब ही खेलना तय करना चाहिए जब म्यूजिक प्रति नाटक 1.67 यूरो की कीमत के बराबर हो।

हम उस मूल्य को "x" कहते हैं जिसे हम खोज रहे हैं मान लीजिए हम कई बार (औसतन) की संख्या खोजना चाहते हैं कि किसी को लगातार दो "सिर" प्राप्त करने के लिए सिक्का डाल दिया जाए। हमें एक समीकरण सेट करना होगा जो हमें समाधान खोजने में मदद करेगा जिसे हम "x" कहते हैं। हम एक समय में सूत्र तैयार करेंगे, क्योंकि अब हमारे पास:

अगर पहले लांच "क्रॉस" बाहर आए तो क्या होगा, इसके बारे में सोचें जब आप एक सिक्का रोल करते हैं, आधे रास्ते से, अपनी पहली पिच पर आप "क्रॉस" प्राप्त करेंगे। यदि ऐसा होता है, तो आपके पास होगा "बर्बाद" एक लॉन्च, हालांकि एक पंक्ति में दो "सिर" होने की आपकी संभावना बिल्कुल भी बदली नहीं हुई है जैसे ही लांच करने से पहले, आपको सिर को दो बार लेने से पहले सिक्का को कई बार खींचने की उम्मीद करनी चाहिए। दूसरे शब्दों में, आपको "एक्स" लॉन्च प्लस 1 चलाने की उम्मीद है (जो आपने अभी किया है)। गणितीय शब्दों में आप कह सकते हैं कि "आधे मामलों में आपको सिक्का एक्स बार और 1 को फेंकना होगा":

मूल्यांकन करें कि क्या होगा अगर आप पहले लॉन्च में "सिर" लेंगे। वहाँ 0.5 (या ½) संभावना है कि पहली बार में आप "सिर" के साथ पक्ष मिलता है। यह स्थिति आपको लगातार दो "सिर" प्राप्त करने के अपने लक्ष्य के करीब लाने के लिए प्रतीत होती है, लेकिन क्या आप यह बता सकते हैं कि आप कितने करीब होंगे? ऐसा करने का सबसे आसान तरीका दूसरे लॉन्च के साथ संभावित परिणामों के बारे में सोचना है:

दो घटनाओं होने वाली संभावनाओं की गणना करने का तरीका जानें हम जानते हैं कि फेंक में "सिर" पक्ष दिखाने के लिए 0.5 मौके हैं, लेकिन यह कितने मौके हैं दो लगातार लांच एक ही परिणाम दे? उन्हें खोजने के लिए, उन दोनों के बीच प्रत्येक पक्ष की संभावनाएं गुणा करें। इस मामले में: 0.5 x 0.5 = 0.25 यह मान भी एक सिर और फिर एक क्रॉस होने की संभावना को इंगित करता है, क्योंकि दोनों 50% को दिखाने की संभावना है।

मामले के लिए परिणाम जोड़ें "सिर एक क्रॉस के बाद" समीकरण। अब जब हम इस परिणाम की संभावनाओं को जानते हैं, तो हम समीकरण बढ़ा सकते हैं। एक उपयोगी परिणाम प्राप्त किए बिना दो बार सिक्का रोल करने का 0.25 (या ¼) मौका है। पहले के समान तर्कों का प्रयोग करते हुए, जब हमने मान लिया था कि पहली बार एक "क्रॉस" बाहर आया था, तो हमें वांछित मामले पाने के लिए कई "एक्स" लॉन्च की आवश्यकता होगी, साथ ही उन दोनों को पहले से "व्यर्थ" किया गया है। इस अवधारणा को गणितीय भाषा में बदलना हमारे पास होगा: (0.25) (x + 2) जो हम समीकरण में जोड़ते हैं:

अब मामले को जोड़ते हैं "सिर, सिर" सूत्र के अनुसार जब आप सिर की ओर लगातार दो फेंक देते हैं, तो आप अपने लक्ष्य तक पहुंच गए हैं। आपको सिर्फ दो लॉन्च में जो चाहिए वह मिला। जैसा हमने ऊपर देखा है, इस घटना की संभावना 0.25 है, इसलिए इस मामले में हम (0.25) (2) जोड़ते हैं। हमारा समीकरण अब पूर्ण है और है:

समीकरण को सरल बनाएं गुणन करके इसे सरल बनाने की कोशिश करें याद रखें कि यदि आप डेटा को ब्रैकेट (0.5) (एक्स + 1) में देखते हैं, तो आपको दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद को 0.5 से बढ़ाना होगा और आपको 0.5x + (0.5) (1) 0.5x मिलेगा + 0.5 समीकरण के सभी टुकड़ों के लिए इस तरह से जारी रखें और फिर उन्हें संभव के रूप में सरलीकृत करें:

एक्स के लिए समीकरण को हल करें बस किसी अन्य समीकरण की तरह, आपके लक्ष्य को बराबर चिह्न के एक तरफ अज्ञात को अलग करके एक्स के मूल्य को खोजना है। याद रखें कि एक्स का अर्थ है "दो लगातार सिर प्राप्त करने के लिए दौड़ने की औसत संख्या फेंकता है"। जब आपको एक्स का मूल्य मिल गया है, तो आपको समस्या का समाधान भी होगा।

स्वतंत्र घटनाओं की अवधारणा को समझें रोजमर्रा की जिंदगी में, बहुत से लोग सोचते हैं कि उनके पास एक भाग्यशाली दिन है, जब खूबसूरत चीजें होती हैं और वे ऐसे दिन की उम्मीद कर सकते हैं कि कई सुखद आश्चर्यों को आरक्षित किया जा सके। दूसरी तरफ, लोगों का मानना ​​है कि एक दुर्भाग्यपूर्ण दिन सबसे खराब हो चुका है और कम से कम इस क्षण के मुकाबले इसमें कोई बुरा नतीजा नहीं हो सकता है। गणितीय दृष्टिकोण से, यह एक स्वीकार्य विचार नहीं है। यदि आप एक नियमित सिक्का डालते हैं, तो सिर या एक क्रॉस होने की संभावना 2 में से 1 में हमेशा होता है इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि अगर 20 के अंत में आपको केवल सिर, क्रॉस या इन परिणामों का मिश्रण मिलेगा: अगले लॉन्च में हमेशा एक 50% मौका होगा प्रत्येक लॉन्च पूरी तरह से है "स्वतंत्र" पिछले वाले से और इससे प्रभावित नहीं है