GnuMani.com

कैसे कारकों में बीजीय समीकरणों को तोड़ने के लिए

गणित में, के लिए गुणन

हम उन संख्याओं या अभिव्यक्तियों को ढूंढना चाहते हैं जो एक दूसरे को एक निश्चित संख्या या समीकरण देने के लिए गुणा करते हैं। कारकों में फैक्टरिंग तो algebrici- समस्याओं को हल करने जब यह द्विघात समीकरण, या बहुआयामी पद के अन्य प्रकार के साथ क्या करना है, कारक करने की क्षमता लगभग आवश्यक हो जाता है जानने के लिए एक उपयोगी कौशल है। बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और गणना की सुविधा के लिए फ़ैक्टाइज़ेशन का उपयोग किया जा सकता है। यह आपको कुछ परिणामों को क्लासिक रिज़ॉल्यूशन की तुलना में तेज़ी से हटाने की भी अनुमति देता है।

कदम

विधि 1

साधारण संख्या और बीजीय कारक को कारक में विभाजित करें
फ़ैक्टर बीजीय समीकरण का पहला शीर्षक चित्र 1
1
एकल संख्याओं पर लागू फैलाव की परिभाषा को समझें फैक्टरिंग सैद्धांतिक रूप से सरल है, लेकिन जटिल समीकरणों पर लागू होने पर व्यवहार में यह चुनौतीपूर्ण साबित हो सकता है। इसके लिए साधारण संख्या से शुरू होने वाले factorization से संपर्क करना आसान है और फिर सरल समीकरणों पर आगे बढ़ें और फिर अधिक जटिल अनुप्रयोगों के लिए। कारकों एक निश्चित संख्या की संख्या एक उत्पाद के रूप में एक दूसरे से गुणा करती है, जो संख्या है। उदाहरण के लिए, 12 के कारक 1, 12, 2, 6, 3 और 4 हैं, क्योंकि 1 × 12, 2 × 6, और 3 × 4 सब 12
  • इसके बारे में सोचने का एक अन्य तरीका यह है कि दी गई संख्या के कारक संख्याएं हैं जो वे वास्तव में विभाजित करते हैं वह नंबर
  • क्या आप संख्या 60 में सभी कारकों की पहचान कर सकते हैं? 60 नंबर कई उद्देश्यों (एक घंटे में मिनट, एक मिनट में सेकंड, आदि) के लिए प्रयोग किया जाता है क्योंकि यह कई संख्याओं से विभाज्य है।
  • 60 के कारक 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 और 60 हैं।
  • फैक्टर बीजीय समीकरणों का शीर्षक चित्र 2 चरण
    2
    ध्यान रखें कि अज्ञात वाले भावों को भी कारकों में विभाजित किया जा सकता है। अलग-अलग संख्याओं की तरह, यहां तक ​​कि संख्यात्मक गुणांक (मोनोमियल्स) के साथ अज्ञात भी कारगर हो सकते हैं। ऐसा करने के लिए, गुणांक कारकों को ढूंढें अणुओं का गुणांक कैसे घटाना यह जानने के लिए कि बीजीय समीकरणों को सरल बनाने के लिए उपयोगी है, जिनमें अज्ञात हिस्सा हैं।
  • उदाहरण के लिए, अज्ञात 12x को 12 और एक्स के बीच के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। हम 12x के रूप में 3 (4x), 2 (6x), आदि लिख सकते हैं, जिससे कि हमें अधिक आरामदायक बनाते हैं।
  • हम आगे भी जा सकते हैं और 12x को तोड़ सकते हैं कई बार. दूसरे शब्दों में, हमें 3 (4x) या 2 (6x) पर रोक नहीं है, लेकिन हम क्रमशः 3 (2 (2x) और 2 (3 (2x)) प्राप्त करने के लिए 4x और 6x आगे बढ़ सकते हैं।) बेशक, ये दो भाव समकक्ष हैं ।
  • छवि का शीर्षक फैक्टर बीजीय समीकरण चरण 3
    3
    बीजीय समीकरणों में कारक के लिए वितरण की संपत्ति का उपयोग करें। गुणांक के साथ एकल और अज्ञात दोनों संख्याओं के टूटने के बारे में अपने ज्ञान का लाभ उठाकर, आप संख्याओं और अज्ञात दोनों के लिए सामान्य कारकों की पहचान करके मूलभूत बीजीय समीकरणों को सरल बना सकते हैं। आम तौर पर जितना संभव हो उतना समीकरणों को सरल बनाने के लिए हम इन की पहचान करने की कोशिश करते हैं अधिकतम आम विभाजक. सरलीकरण की यह प्रक्रिया गुणा के वितरण की संपत्ति के लिए संभवतः धन्यवाद है, जो कहती है कि किसी भी संख्या में ए, बी, सी, ए (बी + सी) = एबी + एसी.
  • एक उदाहरण के साथ कोशिश करते हैं। बीजीय समीकरण टूट x 12 + 6, सब से पहले, हम के 12x और 6. 6 सबसे बड़ी संख्या है कि दोनों 12x 6 के साथ पूरी तरह से विभाजित करता है सबसे बड़ा आम भाजक लगता है, तो हम के लिए 6 (2x + 1 समीकरण को आसान बनाने में कर सकते हैं )।
  • इस प्रक्रिया को समीकरणों पर भी लागू किया जा सकता है जिसमें ऋणात्मक संख्याएं और अंश शामिल हैं। उदाहरण के लिए, एक्स / 2 + 4, 1/2 (x + 8) से सरलीकृत किया जा सकता है, और -7 x + -21 को -7 (x + 3) के रूप में विघटित किया जा सकता है।

    • विधि 2

    द्वितीय डिग्री समीकरणों (या द्विघात) कारकों में टूट
    फ़ैक्टर बीजीय समीकरण का शीर्षक चित्र 4 चरण
    1
    सुनिश्चित करें कि समीकरण दूसरी डिग्री है (कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी = 0)। द्वितीय डिग्री समीकरण (जिसे द्विघात कहा जाता है) फार्म कुल्हाड़ी में हैं2 + bx + c = 0, जहां ए, बी, और सी संख्यात्मक स्थिरांक और एक कर रहे हैं 0 से अलग है (हालांकि, हो सकता है 1 या -1)। आप एक समीकरण है कि अज्ञात (एक्स) होते हैं और दूसरे सदस्य को एक्स के साथ एक या अधिक शब्द के साथ हैं, तो आप बराबर के चिह्न के एक तरफ बुनियादी बीजीय कार्यों के साथ ही सदस्य पर उन सब को ले जाने के 0 प्राप्त करने के लिए कर सकते हैं और कुल्हाड़ी2, आदि अन्य।
    • उदाहरण के लिए, हम निम्नलिखित बीजीय समीकरण लेते हैं। 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 को एक्स के लिए सरलीकृत किया जा सकता है2 + 6x + 9 = 0, जो दूसरी डिग्री है।
    • एक्स से अधिक शक्तियों के साथ समीकरण, जैसे x3, एक्स4, आदि वे दूसरे डिग्री समीकरण नहीं हैं। ये तीसरे, चौथे डिग्री, और इतने पर के समीकरण हैं, जब तक कि समीकरण को 2 x से अधिक संख्या में उच्च x के साथ शब्दों को हटाकर सरलीकृत किया जा सके।
  • फैक्टर बीजीय समीकरणों का शीर्षक शीर्षक चित्र 5
    2
    द्विघात समीकरणों में जहां एक = 1, (एक्स + डी) (एक्स + ई) में टूट जाता है, जहां डी × ई = सी और डी + ई = बी। यदि समीकरण एक्स के रूप में है2 + bx + c = 0 (वह है, यदि x का गुणांक2 = 1), यह (लेकिन निश्चित रूप से नहीं) संभव है कि समीकरण को तोड़ने के लिए एक तेज़ विधि का इस्तेमाल किया जा सकता है दो नंबर मिलते हैं जो एक दूसरे को दे देते हैं c और डियानो बी का सारांश एक बार जब आप ये नंबर डी और ई पहचान लेंगे, तो उन्हें निम्न सूत्र में बदलें: (एक्स + घ) (x + रों). दो शब्दों में, यदि गुणा किया जाता है, तो मूल समीकरण में परिणाम - दूसरे शब्दों में, वे द्विघात समीकरण के कारक हैं।
  • उदाहरण के लिए दूसरी डिग्री समीकरण एक्स ले लो2 + 5x + 6 = 0. 3 और 2 एक दूसरे के साथ गुणा 6 देते हैं, जबकि एक साथ जोड़ दिया 5, इसलिए हम (x + 3) (x + 2) में समीकरण को सरल कर सकते हैं।
  • इस फार्म की कुछ भिन्नताएं हैं, किसी भी आधार पर और समान समीकरण में अंतर:
  • यदि द्विघात समीकरण फॉर्म x में है2-bx + c, परिणाम होगा: (x - _) (x - _)
  • अगर यह एक्स के रूप में है2+बीएक्स + सी, इसका परिणाम इस तरह होगा: (x + _) (x + _)
  • अगर यह एक्स के रूप में है2-bx-c, परिणाम होगा: (x + _) (x - _)
  • नोट: रिक्त स्थान की संख्या भी अंश या दशमलव हो सकती है। उदाहरण के लिए, समीकरण x2 + (21/2) x + 5 = 0 में टूट जाता है (x + 10) (x + 1/2)।
  • फैक्टर बीजीय समीकरणों का शीर्षक चित्र 6
    3
    यदि संभव हो, तो मुकदमेबाजी से टूटें चाहे आप इसे मानते हों या नहीं, साधारण द्वितीय श्रेणी के समीकरणों के लिए, अपघटन के स्वीकृत तरीकों में से एक समीकरण का परीक्षण करने में और बस संभव समाधानों पर विचार करते हुए सही नहीं है जब तक कि आप सही नहीं पाते। यही कारण है कि इसे परीक्षण द्वारा अपघटन कहा जाता है। यदि समीकरण फार्म कुल्हाड़ी में है2+बीएक्स + सी और ए>1, परिणाम लिखा जाएगा (डीएक्स +/- _) (पूर्व +/- _), जहां डी और ई संख्यात्मक स्थिरांक शून्य से गुणा करने से भिन्न होते हैं दोनों डी और ई (या दोनों) कर सकते हैं संख्या 1 हो, हालांकि जरूरी नहीं कि यदि दोनों 1 हैं, तो आपने मूल रूप से केवल ऊपर वर्णित त्वरित विधि का उपयोग किया है
  • आइए एक उदाहरण के साथ आगे बढ़ें। 3x2 - 8x 4 पहली नजर में खौफ को प्रेरित सकता है, लेकिन लगता है कि 3 केवल दो कारकों (03:01) है और तुरंत, आसान लग रहे हैं के बाद से हम जानते हैं कि परिणाम के रूप में लिखा जाएगा (3x _ +/-) (x + / - _) इस मामले में, दोनों जगहों में एक -2 डालकर हमें सही उत्तर मिलेगा। -2 × 3x = -6 x और -2 × x = -2x -6x और -2x जोड़ा -8x करने के लिए -2 × -2 = 4, तो हम यह देख सकते हैं कि मूल समीकरण देने वाले गुणों को ब्रैकेट में कारकों में विघटित किया गया है।
  • फैक्टर बीजीय समीकरणों का शीर्षक चित्र 7
    4



    वर्ग को निष्पादित करके हल करें कुछ मामलों में, एक विशेष बीजीय पहचान का उपयोग करते हुए वर्ग समीकरण आसानी से कारकों में विघटित हो सकते हैं। X के रूप में लिखे दूसरी डिग्री के सभी समीकरण2 + 2x एच + एच2 = (एक्स + एच)2. इसलिए, यदि आपके समीकरण में बी का मान सी के वर्गमूल से दोगुना है, तो समीकरण को (x + (sqrt (c)) में माना जा सकता है2.
  • उदाहरण के लिए, समीकरण x2 + 6x + 9 प्रदर्शन प्रयोजनों के लिए उपयुक्त है, क्योंकि यह सही रूप में लिखा गया है। 32 पहले 9 और 3 × 2 6 है। इसलिए हमें पता है कि कारकों में समीकरण को समूहीकृत किया जाएगा: (x + 3) (x + 3), या (x + 3)2.
  • फ़ैक्टर बीजीय समीकरण का शीर्षक चित्र 8
    5
    दूसरी डिग्री समीकरण को हल करने के लिए कारकों का उपयोग करें। भले ही आप द्विघात अभिव्यक्ति कैसे विभाजित करते हैं, एक बार जब आप विघटित हो जाते हैं तो आप एक्स के संभावित मूल्यों को 0 के हर पहलू को निर्धारित करके और हल कर सकते हैं। चूंकि आपको यह पता लगाना है कि एक्स के लिए कौन से मान का परिणाम शून्य है, तो समाधान यह होगा कि समीकरण में कारकों में से एक शून्य है।
  • चलिए समीकरण एक्स पर वापस जाते हैं2 + 5x + 6 = 0. इस समीकरण में विघटित (x + 3) (x + 2) = 0. रहा है, तो कारकों में से एक 0 के बराबर, भी पूरे समीकरण 0 के बराबर हो जाएगा है, इसलिए एक्स के लिए संभव समाधान हैं कि संख्याएं जो (x + 3) और (x + 2) 0 के बराबर होती हैं। ये संख्या क्रमशः -3 और -2 क्रमशः हैं।
  • फैक्टर बीजीय समीकरण का शीर्षक चित्र 9
    6
    समाधानों की जांच करें, क्योंकि कुछ स्वीकार्य नहीं हैं! जब आप एक्स के संभावित मानों की पहचान करते हैं, तो उन्हें समझाए जाने के लिए प्रारंभिक समीकरण में एक समय की जगह उन्हें देखने के लिए कि क्या वे मान्य हैं। कभी-कभी मूल्य मिले, जब मूल समीकरण में बदल दिया गया, नहीं परिणामस्वरूप शून्य दें ये समाधान कहा जाता है "स्वीकार्य नहीं" और उन्हें त्याग दिया जाना चाहिए।
  • हम समीकरण एक्स में -2 और -3 की जगह लेते हैं2 + 5x + 6 = 0. से पहले -2:
  • (-2)2 + 5 (-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. यह सही है, इसलिए -2 एक स्वीकार्य समाधान है।
  • अब चलो कोशिश -3:
  • (-3)2 + 5 (-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 +6 = 0
  • 0 = 0. यह परिणाम भी सही है, तो भी -3 एक स्वीकार्य समाधान है।

    • विधि 3

    समीकरणों के अन्य प्रकार
    फैक्टर बीजीय समीकरणों का शीर्षक चित्र 10
    1
    यदि समीकरण रूप में लिखा है तो एक2-ख2, इसे नीचे (a + b) (a-b) में तोड़ दें दो चर के साथ समीकरण सामान्य द्वितीय श्रेणी के समीकरणों से भिन्न रूप से टूट जाते हैं। प्रत्येक समीकरण के लिए एक2-ख2 ए के अलावा और बी 0 के अलावा, समीकरण टूट जाता है (ए + बी) (ए-बी)।
    • उदाहरण के लिए, चलो 9x समीकरण लेते हैं2 - 4y2 = (3x + 2 सा) (3x - 2y)
  • फैक्टर बीजीय समीकरण का शीर्षक चित्र 11
    2
    यदि समीकरण को रूप में लिखा हुआ है तो2+2AB + ब2, इसे नीचे (ए + बी) में तोड़ दें2. ध्यान दें कि यदि ट्रिनीमियल को लिखा है तो2-2AB + ब2, विस्थापित फार्म थोड़ा अलग है: (ए-बी)2.
  • 4x समीकरण2 + 8xy + 4y2 इसे 4x के रूप में फिर से लिखा जा सकता है2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2. अब हम देखते हैं कि यह सही रूप में है, इसलिए हम निश्चित रूप से यह कह सकते हैं कि इसे (2x + 2y) में विघटित किया जा सकता है2
  • फैक्टर बीजीय समीकरण का शीर्षक चित्र 12
    3
    यदि समीकरण रूप में लिखा है तो एक3-ख3, इसे नीचे (a-b) (a2+ab + ख2)। अंत में, यह कहा जाना चाहिए कि तीसरे डिग्री समीकरण और परे भी कारकों में विभाजित हो सकते हैं, भले ही इस प्रक्रिया में काफी अधिक जटिल हो।
  • उदाहरण के लिए, 8x3 - 27y3 यह टूट जाता है (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9 वी2)

    • टिप्स

    • को2-ख2 यह decomposable है, जबकि एक2+ख2 यह नहीं है।
    • याद रखें कि स्थिरांक टूटते हैं, यह उपयोगी हो सकता है
    • सावधान रहें जब आपको अपूर्णांक पर काम करना पड़ता है, तो सभी चरणों को सावधानी से करें
    • यदि आपके पास x के रूप में लिखा गया एक trinomial है2+बीएक्स + (बी / 2)2, विघटित हो जाता है (एक्स + (बी / 2))2 - जब आप एक स्क्वायर कर रहे हों तो आप इस स्थिति में खुद को पा सकते हैं
    • याद रखें कि a0 = 0 (शून्य के लिए गुणा संपत्ति के लिए)

    आप की आवश्यकता होगी चीजें

    • कागज की शीट
    • पेंसिल
    • गणित पाठ (यदि आवश्यक हो)
    सामाजिक नेटवर्क पर साझा करें:

    संबद्ध

    © 2011—2022 GnuMani.com