कैसे अनफिनिश्नल कैलकुल्स को समझें
अनफिनिंशियम कैलकुस गणित की एक शाखा है जो मुख्य रूप से सीमा, कार्य, व्युत्पन्न, अभिन्न और अनंत श्रृंखला की अवधारणाओं का अध्ययन करती है। यह शाखा गणित का सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा है और यह भौतिक और यांत्रिक घटनाओं का वर्णन करने वाले कई समीकरणों का आधार है। अन्तर्निहित गणना को पूरी तरह से समझने के लिए आपको एक विश्वविद्यालय पाठ्यक्रम लेना चाहिए, लेकिन यह आलेख एक अच्छी शुरुआत है और आपको महत्वपूर्ण अवधारणाओं और तकनीकी कदमों को सुलझाने में मदद करता है।
कदम
भाग 1
मूल बातें की समीक्षा करें1
पता है कि अन्तहीन गणना का अध्ययन है कि कैसे चीजें बदलती हैं यह गणित की एक शाखा है जो संख्याओं और रेखाओं को देखता है, जो आमतौर पर वास्तविक दुनिया से संबंधित हैं, और जिस तरह से वे परिवर्तन करते हैं, उनका वर्णन करने का प्रयास करते हैं। यद्यपि पहली नज़र में यह थोड़ा उपयोग के साथ एक विश्लेषण प्रतीत हो सकता है, अनगिनत पथरी बजाय विश्व में गणित की सबसे लागू शाखाओं में से एक है। उपकरण आपको हर समय कितनी तेजी से अपने कारोबार बढ़ जाती है यह पता लगाने की है, या कि तुम एक अंतरिक्ष यान के पाठ्यक्रम चार्ट और कितनी तेजी से ईंधन की खपत इस को समझने के लिए अनुमति देते हैं की जरूरत होने की कल्पना करें। इस बिंदु पर यह स्पष्ट है कि यह इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र, सांख्यिकी, रसायन विज्ञान और भौतिकी में एक मौलिक साधन है और इसने वास्तविक दुनिया के कई आविष्कारों और खोजों की प्राप्ति की अनुमति दी है।
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याद रखें कि फ़ंक्शंस दो नंबरों के बीच संबंध हैं और वास्तविक दुनिया में संख्यात्मक अनुपात का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है। इन नियमों को सहसंबद्ध संख्याओं द्वारा सम्मानित किया जाता है और गणितज्ञों ने ग्राफ़ के साथ उनका प्रतिनिधित्व किया है। फ़ंक्शन में, प्रत्येक डेटा दर्ज किया जाता है, परिणामस्वरूप होता है उदाहरण के लिए फ़ंक्शन y = 2x + 4, प्रत्येक मान को सौंपा है "एक्स" का एक नया मूल्य से मेल खाती है "y"। यदि एक्स = 2, तो y = 8, यदि x = 10, फिर y = 24. कार्यों पर ध्यान देने वाले अनियमित गणना के सभी अध्ययनों को समझने के लिए कि वे कैसे बदलते हैं, और फिर उन्हें वास्तविक-विश्व संबंधों पर लागू होते हैं
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अनन्तता की अवधारणा के बारे में सोचो आप इसे एक प्रक्रिया के सतत और अंतहीन पुनरावृत्ति के साथ जोड़ सकते हैं। यह एक विशिष्ट स्थान नहीं है (आप अनन्तता तक नहीं पहुंच सकते हैं) बल्कि एक संख्या या एक समीकरण का व्यवहार जो लगातार गणना की जाती है यह परिवर्तन का अध्ययन करने के लिए एक बहुत ही महत्वपूर्ण कारक है: शायद आप किसी भी समय-तथापि में अपनी कार की गति में जानना चाहते हैं, तो इसका मतलब है कि आप एक की गति एक millisecond या एक nanosecond के दूसरे दिया, जानना चाहते हैं? आप बेहद सटीक होने के लिए असीम छोटे और कम समय के अंतराल के लिए कार की गति की गणना कर सकते हैं। यह क्षण है जब अन्तराल गणना आपकी सहायता करती है
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सीमा की अवधारणा को समझें सीमा आपको सूचित करती है कि जब कोई प्रक्रिया अनन्तता के करीब होती है तो क्या होता है उदाहरण के लिए, संख्या 1 लेते हैं और इसे 2 से विभाजित करते हैं। फिर 2 से परिणाम विभाजित करना जारी रखें। नंबर 1 पहले 1/2, पहले 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 और इसी तरह होगा। प्रत्येक पास के साथ भागफल हमेशा छोटा होता है "आ" शून्य पर लेकिन यह कैसे खत्म होगा? 0 से प्राप्त करने के लिए आपको कितनी बार 1 2 से विभाजित करना पड़ता है? अनगिनत गणना में, इस प्रश्न का उत्तर देने के बजाय, आप एक को लागू करते हैं सीमा. इस उदाहरण के मामले में सीमा सीमित है = 0
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बीजगणित, त्रिकोणमिति और सरल गणितीय विश्लेषण की आवश्यक अवधारणाओं की समीक्षा करें। अनगिनत गणना आपके अध्ययन के दौरान अपने गणितीय ज्ञान पर आधारित है। यदि आप नींव पूरी तरह से जानते हैं, तो इस शाखा को सीखना और समझना बहुत आसान होगा। यहां कुछ विषय हैं जिनकी आपको समीक्षा करनी चाहिए:
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ग्राफ़िंग कैलकुलेटर खरीदें आप क्या कर रहे हैं यह देखे बिना अन्तर्निहित गणना को समझना बहुत मुश्किल है ग्राफ़िंग कैलकुलेटर को ग्राफ़ में फ़ंक्शन बदलना और आप जो काम कर रहे हैं उसे बेहतर ढंग से समझने में आपकी सहायता करें। आप अक्सर स्क्रीन पर सीमा निर्धारित कर सकते हैं और डेरिवेटिव की गणना कर सकते हैं और स्वचालित रूप से कार्य कर सकते हैं।
भाग 2
डेरिवेटिव को समझना1
सीखें कि अनगिनत गणना का अध्ययन कैसे किया जाता है "त्वरित भिन्नता"। गणित की इस शाखा का मुख्य उद्देश्य यह समझना है कि सटीक क्षण में कुछ क्यों बदल रहा है। उदाहरण के लिए, आप न केवल एक कार की गति को समझ सकते हैं, लेकिन आप किसी भी समय गति भिन्नता का विश्लेषण भी कर सकते हैं। यह सबसे सरल उदाहरण है, जिसमें तथापि गणना infinitesimale- का उपयोग कर में से एक है, अत्यंत महत्वपूर्ण है: कल्पना यह एक अंतरिक्ष यान कि चाँद तक पहुँचने की कोशिश कर रहा है के बारे में इस जानकारी को जानने के लिए उसकी उपयोगिता!
- तत्काल भिन्नता ढूँढना एक प्रक्रिया है जिसे कहा जाता है व्युत्पत्ति. विभेदक कैलकुस, दो मुख्य सेटों में से पहला है, जो कि अन्तर्ग्रहणीय कैलकुस बनाते हैं।
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एक विशेष समय पर फ़ंक्शन कैसे बदलता है यह समझने के लिए डेरिवेटिव का उपयोग करें। शब्द "उत्पन्न" यह थोड़ा अजीब हो सकता है और कुछ चिंता पैदा कर सकता है हालांकि, इस धारणा को अंतर्निहित करना मुश्किल नहीं है - व्यवहार में इसका मतलब है "डेटा कितनी तेजी से बदलता है"। हम हर दिन के साथ सबसे सामान्य व्युत्पन्न व्यवहार गति के सापेक्ष है। आप शायद उसे फोन नहीं करते "गति का व्युत्पन्न" लेकिन "त्वरण"।
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जानें कि डेरिवेटिव ग्राफ़ पर दो बिंदुओं के बीच ढलान (कोणीय गुणांक) का भी प्रतिनिधित्व करता है यह अन्तहीन गणना के प्रमुख निष्कर्षों में से एक है। दो बिंदुओं के बीच व्युत्पन्न लाइन के ढलान से मेल खाती है जो उन्हें एकजुट करती है। एक सामान्य पंक्ति के बारे में सोचें, जैसे कि y = 3x फ़ंक्शन द्वारा पहचाने गए इस मामले में कोणीय गुणांक 3 के बराबर है, जिसका अर्थ है कि जब आप एक्स बदलते हैं तो y 3 गुना भिन्न होता है। ढलान व्युत्पन्न से मेल खाती है: 3 के बराबर कोण के गुणांक का मतलब है कि रेखा x के प्रत्येक भिन्नता के साथ 3 बार बदलती है जब x = 2, y = 6- तब x = 3, y = 9
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याद रखें कि आप वक्र के भी ढलान पा सकते हैं जब यह सीधी रेखा की बात आती है, तो ढलान की गणना काफी सरल होती है: x के परिवर्तन के साथ y का मूल्य कितना होता है? घुमावदार रेखाओं के समीकरणों में, गणना अधिक जटिल हो जाती है, उदाहरण के लिए y = x2. आप अभी भी किसी भी दो बिंदुओं के बीच ढलान पा सकते हैं, आपको बस लाइन को आकर्षित करने की जरूरत है जो उन्हें मिलती है और कोणीय गुणांक की गणना करते हैं।
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एक और अधिक सटीक ढलान खोजने के लिए, बिंदुओं को करीब एक साथ लाएं। जितनी दूरी उन्हें अलग करती है उतनी ही सटीक है कि मूल्य उतना ही सटीक होगा। मान लीजिए कि आप यह जानना चाहते हैं कि जैसे ही आप एक्सीलेरेटर दबाते हैं, आपकी कार तेजी से बढ़ जाती है आप घर और सुपरमार्केट के बीच की गति में भिन्नता को नहीं जानना चाहते हैं, लेकिन आप यह जानना चाहते हैं कि गैस पेडल पर दबाव के तुरंत बाद तुरंत गति कितनी ही बदल गई है। जितना अधिक आप माप चाहते हैं वहीं जितना भी आप मापना चाहते हैं, उतना ही अधिक सटीक होगा।
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खोजने के लिए असीम छोटी लाइनें ढूंढें "त्वरित भिन्नता", या व्युत्पन्न यह वह चरण है जिसमें अन्तहीन गणना भ्रम की स्थिति पैदा कर सकती है, लेकिन सच्चाई यह दो साधारण तथ्यों का परिणाम है। पहले आपको पता है कि एक पंक्ति का कोणीय गुणांक उस गति के बराबर है जिसके साथ वह बदलता है। दूसरे, आप जानते हैं कि माना जाता है कि दो बिंदु करीब और अधिक सही आंकड़े होंगे। लेकिन यह किसी बिंदु पर ढलान को कैसे प्राप्त करना संभव है यदि यह दो बिंदुओं के भिन्नरूपों के बीच संबंध है? अनमोल गणना आपका उत्तर है: दो अंक अनन्त रूप से एक-दूसरे के करीब से चुनें.
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विभिन्न प्रकार के डेरिवेटिव्स की गणना करना सीखें. कई तकनीकें हैं जो आपको डेरिवेटिव खोजने की अनुमति देती हैं और समीकरण के प्रकार पर निर्भर करती हैं - हालांकि, इनमें से अधिकतर समस्या नहीं होनी चाहिए, यदि आपको ऊपर वर्णित डेरिवेटिव के बुनियादी सिद्धांतों को याद किया गया हो। याद रखें कि प्रत्येक व्युत्पन्न एक रेखा का ढलान खोजने का एक तरीका है "असीम छोटा"। अब जब कि आप सिद्धांत को जानते हैं, बहुत सारे काम समाधान ढूंढ रहा है
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प्रत्येक बिंदु पर भिन्नता का अनुमान लगाने के लिए समीकरणों के व्युत्पन्न पता करें। इस प्रयोजन के लिए डेरिवेटिव का उपयोग बहुत उपयोगी है, लेकिन अन्तर्निहित गणना की खूबसूरती इस तथ्य में निहित है कि आप प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए नए मॉडल बना सकते हैं। वाई = एक्स का व्युत्पन्न2, उदाहरण के लिए, यह वाई हैएल = 2x इसका मतलब यह है कि आप प्रत्येक बिंदु के लिए व्युत्पन्न ग्राफ़ y = x पा सकते हैं2 इसे व्युत्पन्न समीकरण में डालें। निर्देशांक (2-4) के साथ बिंदु पर, जहां x = 2 और y = 4, व्युत्पन्न 4 है, Y के बाद सेएल = 2 * (2)
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यदि आपको अवधारणा को समझने में कोई कठिनाई है, तो वास्तविक जीवन से उदाहरण याद करने का प्रयास करें। सरलतम गति से आपको पता चलता है, जो कई अलग-अलग डेरिवेटिव पेश करता है जिसमें आप हर रोज आते हैं। याद रखें कि व्युत्पन्न यह है कि कितनी तेज़ी से कुछ अलग-अलग हो रहा है. एक मेज पर रोलिंग के एक साधारण प्रयोग के बारे में सोचो और आपको यह गणना करना होगा कि आप कितने चलते हैं और कितनी तेजी से अब कल्पना कीजिए कि संगमरमर एक ग्राफ पर एक रेखा खींच रहा है, तो आप लाइन पर प्रत्येक बिंदु पर तात्कालिक बदलाव को मापने के लिए डेरिवेटिव का उपयोग कर सकते हैं।
भाग 3
इंटीग्रल्स को समझना1
जटिल आकृतियों के क्षेत्र और खंडों को खोजने के लिए अन्तर्निहित पथरी का उपयोग करना सीखें। गणित की इस शाखा के लिए धन्यवाद आप उन रूपों को माप सकते हैं जो अन्यथा बहुत जटिल होंगी। उदाहरण के लिए, एक लम्बी और कष्टकारी आकार के साथ झील में कितना पानी है, इस पर विचार करने की कोशिश करें- प्रत्येक लीटर पानी को अलग से मापने के लिए असंभव है या शासक के साथ अन्तर्निहित गणना आपकी सहायता करती है क्योंकि यह आपको बैंक की प्रोफ़ाइल में परिवर्तन की गणना करने और इस जानकारी का उपयोग करने के लिए पानी की मात्रा के मूल्य तक पहुंचने की अनुमति देता है।
- भौगोलिक मॉडल बनाना और मात्रा का अध्ययन करना परिभाषित किया गया है "एकीकरण" या वर्ग निकालना यह अन्तःवृत्त पथरी का दूसरा प्रमुख समूह है।
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एक चार्ट के नीचे क्षेत्र कैसे ढूंढें जानें इंटीग्रल्स आपको प्रत्येक रेखा के नीचे की सतह की गणना करने की अनुमति देते हैं, फिर अजीब और अनियमित आकृतियों का क्षेत्र ढूंढें। समीकरण y = x पर विचार करें2 जिसका चार्ट एक बड़ा एक जैसा दिखता है "यू"। उदाहरण के लिए आप सतह के उस क्षेत्र का पता लगाना चाह सकते हैं जो यू के अधीन है और आप इस गणना के लिए एकीकरण का उपयोग कर सकते हैं। यदि यह सब बेकार लग रहा है, तो विनिर्माण उद्योग का मूल्यांकन करने की कोशिश करें: आप उस फ़ंक्शन का निर्माण कर सकते हैं जिसका ग्राफ़िक एक नए टुकड़े के समान है जिसे आपको उत्पादन करना है और पता है कि क्षेत्र आपको सही मात्रा में कच्चे माल का ऑर्डर करने की अनुमति देता है।
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पता है कि अभिन्न की गणना के साथ आगे बढ़ने के लिए आपको एक क्षेत्र का चयन करना होगा आप एक संपूर्ण फ़ंक्शन को एकीकृत नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, y = x एक अनंत विकर्ण रेखा है और आप इसे पूरी तरह एकीकृत नहीं कर सकते क्योंकि वास्तव में, यह अनंत है जब आप फ़ंक्शन को एकीकृत करते हैं, तो आपको एक क्षेत्र स्थापित करना होगा, जैसे कि अंक x = 2 और x = 5 के बीच एक
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समीक्षा करें कि एक आयत का क्षेत्रफल कैसा है। कल्पना कीजिए कि आपके ग्राफ़ पर एक क्षैतिज रेखा है, जैसे y = 4। नीचे दिए गए क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको y = 0 और y = 4 के बीच के आयत की सतह का चयन करना होगा। आप परिभाषित किया गया आंकड़ा का क्षेत्रफल गणना करने के लिए सरल, लेकिन यह प्रक्रिया वक्रित रेखाओं पर लागू नहीं होती है जो आसानी से आयतों में परिवर्तित नहीं हो सकती।
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एकीकरण में कुल क्षेत्रफल को खोजने के लिए कई छोटे आयताकारों के क्षेत्र को जोड़ना शामिल है। यदि आप एक घुमावदार खंड को बहुत बड़ा करते हैं, तो यह एक सपाट रेखा के रूप में दिखाई देगा। यह रोजमर्रा की जिंदगी में भी होता है, उदाहरण के लिए आप पृथ्वी की वक्रता नहीं देख सकते क्योंकि आप सतह के बहुत करीब हैं। एकीकरण घुमावदार रेखा के नीचे छोटे आयतों की एक अनन्त श्रृंखला बनाता है और इतने छोटे होते हैं कि पक्ष "वक्र" इसे फ्लैट माना जा सकता है, ताकि गणनाओं के साथ आसानी से आगे बढ़ सकें। कुल क्षेत्रफल को खोजने के लिए इन सभी छोटे आयतों का क्षेत्र जोड़ें।
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सही ढंग से एकीकृत करने और पढ़ने के लिए जानें ये 4 भागों से बना है यहां इसकी विशिष्ट उपस्थिति है:
∫ एफ (x) सही
पहला प्रतीक, ∫, इंगित करता है एकीकरण। दूसरा भाग, एफ (एक्स), इंगित करता है फ़ंक्शन के तहत परीक्षा (2x + 2, t2 और इसी तरह), जबकि अंत में आपको मिला संक्षिप्त नाम उस दिशा को इंगित करता है जिसमें आपको मापना पड़ता है।
पहला प्रतीक, ∫, इंगित करता है एकीकरण। दूसरा भाग, एफ (एक्स), इंगित करता है फ़ंक्शन के तहत परीक्षा (2x + 2, t2 और इसी तरह), जबकि अंत में आपको मिला संक्षिप्त नाम उस दिशा को इंगित करता है जिसमें आपको मापना पड़ता है।
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एकीकृत की गणना करना सीखें. आप विभिन्न तरीकों से आगे बढ़ सकते हैं और आपको सभी कार्यों को एकीकृत करने के लिए कई सूत्र सीखना होगा। हालांकि, प्रत्येक विधि ऊपर वर्णित सिद्धांतों का पालन करती है: एकीकरण के साथ आप एक अनंत संख्या की आयतें पाएंगे, जिन्हें आपको एक साथ जोड़ना होगा।
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पता है कि एकीकरण व्युत्पत्ति के व्यस्त ऑपरेशन है। यह एक अवधारणा है "अचल" अनगिनत कलन का और क्या कई वैज्ञानिक और तकनीकी खोजों तक पहुंचने की अनुमति है चूंकि इन दोनों कार्यों का बारीकी से संबंध है, उनके संयोजन आपको परिवर्तन, त्वरण, गति और आंदोलन की दर, आपकी जानकारी की परवाह किए बिना खोजने की अनुमति देता है।
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याद रखें कि आप के साथ integrals भी तीन आयामी ठोस मात्रा का पता लगा सकते हैं। यदि आप अक्ष के चारों ओर एक फ्लैट आकृति को घुमाएंगे तो आप एक 3D ठोस बना सकते हैं। कल्पना कीजिए कि आप के सामने टेबल पर एक सिक्का बना रहे हैं, आप देखेंगे कि एक गोल उसके आंदोलन के दौरान बनाया गया है। आप परिभाषित प्रक्रिया में मात्रा को खोजने के लिए इस अवधारणा का उपयोग कर सकते हैं "मात्रा प्रति रोटेशन"।
टिप्स
- शिक्षक से बात करके अपने संदेह स्पष्ट करें
- बुनियादी अवधारणाओं का अध्ययन करके प्रारंभ करें
- सबक के दौरान ध्यान दें
- प्रैक्टिस सही बनाता है, फिर पाठ की समस्याओं को हल करके और अवधारणाओं को बेहतर ढंग से समझने के लिए समाधान की जांच करके अभ्यास किया जाता है।
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गणित सरल कैसे करें
गणित का अध्ययन कैसे करें
अधिनियम के लिए अध्ययन कैसे करें
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