त्रिकोण के Hypotenuse की लंबाई की गणना कैसे करें

वहाँ गणित परीक्षा है कि कम से कम एक rectangular- त्रिकोण के कर्ण की गणना में शामिल नहीं है लेकिन, आप चिंता करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि यह एक साधारण गणना है है! सभी आयताकार त्रिकोणों का एक सही कोण (9 0 डिग्री सेल्सियस) है और इस कोण पर विपरीत दिशा को हाइपोटिन्यूज कहा जाता है। 2500 साल पहले ग्रीक दार्शनिक और गणितज्ञ पिटगोरा ने इस तरफ की लंबाई की गणना करने के लिए एक सरल विधि पाया, जो कि आज भी प्रयोग किया जाता है। यह आलेख आपको सिखा देगा कि कैसे उपयोग करें `पायथागोरस प्रमेय`

सामग्री

कदम

विधि 1
विधि 2
विधि 3

जब आप दो कैथिटे की लंबाई जानते हैं और इसका फायदा उठाते हैं `स्तन के प्रमेय` जब आप केवल एक तरफ की लंबाई और एक कोण की चौड़ाई (सही एक के अलावा) को जानते हैं। अंत में यह समझते हैं और एक विशेष समकोण त्रिकोण है कि अक्सर गणित परीक्षणों पर उनकी उपस्थिति बनाने में विकर्ण स मान संग्रहीत करने के लिए कैसे कहा जाएगा।

कदम

विधि 1

पायथागॉरियन प्रमेय

`पायथागॉरियन प्रमेय` को जानें यह कानून उस संबंध का वर्णन करता है जो दायां संरेखित त्रिभुज के किनारों के बीच मौजूद है और यह गणित में सबसे अधिक उपयोग किया जाता है (कक्षा कार्य में भी!)। प्रमेय कहता है कि हर आयताकार त्रिभुज में जिसका कर्ण का `सी` है और कैथेट्स हैं `ए` और `बी` का संबंध मान्य है: को² + ख² = सी².

सुनिश्चित करें कि त्रिकोण आयताकार है I वास्तव में, पाइथागॉरियन प्रमेय केवल इस प्रकार के त्रिकोण के लिए मान्य है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार यह केवल एक कर्ण के पास है यदि प्रश्न में त्रिकोण में एक कोण है जो ठीक से 90 डिग्री का उपाय करता है, तो आप दाहिने कोण वाले त्रिकोण का सामना कर रहे हैं और आप गणनाओं के साथ आगे बढ़ सकते हैं।

दायां कोण अक्सर एक छोटी सी तस्वीर के साथ, पाठ्यपुस्तकों और क्लासवर्क में दोनों की पहचान की जाती है। इस विशेष चिन्ह का मतलब है "90 वें"।

ए, बी और सी को त्रिकोण के पक्ष में आवंटित करें। चर "ग" यह हमेशा कर्ण पर रखा जाता है, सबसे लंबे पक्ष कैटिटी होगी को और ख (कोई फर्क नहीं पड़ता कि क्रम में, नतीजा नहीं बदलता है)। इस बिंदु पर पाइथागॉरियन प्रमेय के रूप में वेरिएबल्स के अनुरूप मूल्य दर्ज करें। उदाहरण के लिए:

यदि त्रिभुज माप 3 और 4 के कैथेटिक, तो ये मान इन अक्षरों को असाइन करें: a = 3 और b = 4- समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है: 3² + 4² = सी².

ए और बी के वर्गों को ढूंढें ऐसा करने के लिए बस अपने लिए प्रत्येक मान को गुणा करें, फिर: को² = एक एक्स ए. ए और बी के वर्गों को ढूंढें और सूत्र में परिणाम दर्ज करें।

अगर एक = 3, ए² = 3 x 3 = 9. यदि बी = 4, बी² = 4 x 4 = 16

एक बार ये संख्या सूत्र में दर्ज हो जाएंगी, तो समीकरण इस प्रकार दिखना चाहिए: 9 + 16 = सी².

उन दोनों के बीच का मूल्य को² और ख². सूत्र में परिणाम दर्ज करें और आपके पास सी का मान होगा². केवल एक अंतिम चरण गायब है और आप समस्या का हल करेंगे।

हमारे उदाहरण में आपको मिलेगा 9 + 16 = 25, तो आप यह कह सकते हैं कि 25 = सी².

सी का वर्गमूल निकालें². सी के वर्गमूल को खोजने के लिए आप अपने कैलकुलेटर (या आपकी मेमोरी या गुणा सारणी) के फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं². परिणाम हाइपोटिन्यूज की लंबाई से मेल खाती है

हमारे उदाहरण की गणना समाप्त करने के लिए: ग² = 25. 25 का वर्गमूल 5 है5 x 5 = 25, तो Sqrt (25) = 5)। इसका अर्थ है कि सी = 5, कर्ण की लंबाई!

विधि 2

त्रिभुज विशेष आयताकार

पहचानना सीखें पायथागोरियन बैकहौ. ये तीन पूर्णांक (आयताकार त्रिकोण के किनारों से जुड़े) से बनाये गये हैं जो कि पायथागॉरियन प्रमेय को संतुष्ट करते हैं। ये त्रिकोण हैं जो ज्यामिति पाठ्यपुस्तकों में और क्लास असाइनमेंट में अक्सर उपयोग किए जाते हैं। भंडार हैं, विशेष रूप से, पहले दो पायथागॉरियन ट्रिपल, आप बहुत समय परीक्षा के दौरान बचाने क्योंकि वे तुरंत कर्ण मूल्य पता चल जाएगा होगा!

पहला पाइथागोरियन टेर्ना है: 3-4-5 (3² + 4² = 5², 9 + 16 = 25) यदि आपको सही एंग्लिड त्रिभुज की पेशकश की जाती है जिसके कैथेटर्स 3 और 4 हैं, तो आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि कोई भी गणना किए बिना कर्ण 5 है।
पाइथागोरियन टर्न 3-4-5 के गुणकों के लिए भी मान्य है, बशर्ते कि विभिन्न पक्षों के बीच का अनुपात बनाए रखा गया है। उदाहरण के लिए, एक दाएं कोण वाले त्रिभुज 6 और 8 के लिए hypotensive बराबर होगा 10 (6² + 8² = 10², 36 + 64 = 100) उसी के लिए चला जाता है 09/12/15 और इसके लिए भी 1,5-2-2,5. गणितीय गणनाओं के साथ स्वयं को सत्यापित करने का प्रयास करें
गणित की परीक्षा में दूसरा पायथागॉरियन टेर्ना बहुत व्यापक है 05/12/13 (5² + 12² = 13², 25 + 144 = 16 9) इसके अलावा इस मामले में गुणकों का अनुपात सम्मान है, उदाहरण के लिए: 10-24-26 और 2,5-6-6,5.

45-45-90 के कोण के साथ एक त्रिकोण के बीच के संबंधों को स्टोर करता है इस मामले में हम एक समद्विबाहु समकोण त्रिकोण है, जो अक्सर कक्षा कार्य में प्रयोग किया जाता है के साथ सामना कर रहे हैं, और इसे से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए सरल कर रहे हैं। पक्षों के बीच संबंध, इस विशिष्ट मामले में, है 1: 1: sqrt (2) जिसका अर्थ है कि cathets एक दूसरे के बराबर हैं और यह कि कर्ण का कैथेटस की लंबाई के बराबर है जो दो की जड़ से गुणा करता है।

एक समकोण समद्विबाहु त्रिकोण जिनमें से एक भुजा की लंबाई के साथ परिचित हैं के कर्ण की गणना के लिए, बस sqrt (2) के मूल्य के बाद गुणा।

पक्षों के बीच रिश्तों को जानने के लिए बहुत उपयोगी है, जब समस्या आपको पक्षों के मूल्यों को वैरिएबल के रूप में दर्शाती है और पूर्णांक के रूप में नहीं।

30-60-90 के कोणों के साथ त्रिभुज के किनारे के बीच के रिश्ते को जानें इस मामले में आपके पास 30 डिग्री, 60 डिग्री और 90 डिग्री के एंगल के साथ सही कोण वाले त्रिभुज हैं जो एक समभुज त्रिभुज के आधे हिस्से से मेल खाते हैं। इस त्रिकोण के पक्ष में एक अनुपात के बराबर है: 1: sqrt (3): 2 या: एक्स: Sqrt (3) एक्स: 2x. यदि आप कैथेटस की लंबाई जानते हैं और आपको कर्ण का पता लगाना है, तो प्रक्रिया बहुत सरल है:

यदि आप कम कैथेटस (30 डिग्री के कोण पर विपरीत एक) के मूल्य को जानते हैं, तो बस लंबाई दो से गुणा करें और हाइपोटिन्यूज़ के मूल्य का पता लगाएं। उदाहरण के लिए, यदि मामूली पैर के बराबर है 4, कर्ण के बराबर है 8.

यदि आप प्रमुख कैथेटस के मूल्य (60 डिग्री के कोण पर विपरीत एक) के बारे में जानते हैं तो फिर लंबाई की लंबाई गुणा करें 2 / Sqrt (3) और आपको कर्ण का मूल्य मिलेगा। उदाहरण के लिए, यदि प्रमुख कैथेटस है 4, हाइपोटिन्यूज होना चाहिए 4.62.

विधि 3

साइन प्रमेय

समझें कि क्या है "स्तन"। शर्तें "स्तन" "कोज्या" और "स्पर्शरेखा" वे सभी दाहिने कोण वाले त्रिभुज के कोण और / या दोनों पक्षों के बीच विभिन्न अनुपातों का उल्लेख करते हैं। एक सही त्रिकोण में स्तन एक कोण के रूप में परिभाषित किया गया है कोने के किनारे की तरफ की लंबाई द्वारा विभाजित त्रिकोण के कर्ण का लम्बाई. कैलकुलेटर और समीकरणों में इस फ़ंक्शन को प्रतीक के साथ संक्षिप्त किया गया है: पाप.

स्तनों की गणना करने के लिए जानें यहां तक कि सबसे सरल वैज्ञानिक कैलकुलेटर के पास साइन की गणना करने का कार्य है। प्रतीक के साथ संकेतित कुंजी की जांच करें पाप. एक कोने के साइन को खोजने के लिए, आपको बटन दबाएं पाप और फिर डिग्री में अभिव्यक्त कोण मान दर्ज करें। कैलकुलेटर के कुछ मॉडल में, आपको बिल्कुल विपरीत करना पड़ता है यह कैसे काम करता है यह समझने के लिए कुछ परीक्षण करें या अपने कैलकुलेटर के मैनुअल की जांच करें।

एक 80 डिग्री कोण के स्तन को खोजने के लिए, आपको टाइप करना होगा पाप 80 और दर्ज करें या समान कुंजी दबाएं या आपको टाइप करना होगा 80 पाप. (परिणाम -0.9 9 3 9 है।)

आप शब्दों के साथ एक ऑनलाइन खोज भी कर सकते हैं "स्तन कैलकुलेटर", आपको कई आभासी कैलकुलेटर मिलेंगे जो कई संदेहों पर प्रकाश डालेंगे।

`स्तनों के प्रमेय` को जानें यह आयत त्रिकोण से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए एक बहुत उपयोगी उपकरण है। विशेष रूप से, यह आपको कर्ण के मूल्य को खोजने के लिए अनुमति देता है जब आपको एक तरफ की लंबाई और सही कोण के अलावा दूसरे कोण का मूल्य पता होता है प्रत्येक आयताकार त्रिकोण में जिनके पक्ष हैं को, ख और ग कोनों के साथ एक, बी और सी साइन प्रमेय कहता है कि: एक / पाप एक = बी / पाप बी = सी / पाप सी.

साइन त्रिकोणीय प्रत्येक त्रिभुज की समस्याओं को हल करने के लिए लागू किया जा सकता है, लेकिन केवल उन आयतों में कर्ण है।

ए, बी और सी को त्रिकोण के पक्ष में आवंटित करें। कर्ण का होना चाहिए "ग"। सादगी के लिए हम ज्ञात पक्ष कहते हैं "को" और दूसरे "ख"। अब कोनों को ए, बी और सी को चर निर्दिष्ट करता है। कर्ण के विपरीत एक को बुलाया जाना चाहिए "सी"। पक्ष के विपरीत एक "को" यह कोने है "एक" और उस पक्ष के विपरीत "ख" यह कहा जाता है "बी"।

तीसरे कोने के मान की गणना करें यह देखते हुए कि एक ईमानदार है, आप जानते हैं कि सी = 90 डिग्री आप आसानी से मूल्यों की गणना कर सकते हैं एक या बी. एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है ताकि आप समीकरण सेट कर सकें: 180 - (90 + ए) = बी जो इस रूप में भी लिखा जा सकता है: 180 - (90 + बी) = ए.

उदाहरण के लिए, यदि आप जानते हैं कि ए = 40 डिग्री, तो बी = 180 - (90 + 40). गणना करना: बी = 180 - 130 यह प्राप्त करें: बी = 50 डिग्री.

त्रिभुज की जांच करें इस बिंदु पर आपको तीन कोनों के मूल्य और एक की लंबाई पता होना चाहिए। अब आपको इस जानकारी को दो पक्षों की लंबाई निर्धारित करने के लिए सीन प्रमेय के सूत्र में दर्ज करना होगा।

हमारे उदाहरण के साथ जारी रखने के लिए, विचार करें कि a = 10. कोण C = 90 °, कोण A = 40 ° और कोण B = 50 °।

त्रिकोण को साइन प्रमेय लागू करें आपको सूत्र में ज्ञात मूल्यों को दर्ज करना होगा और इसे सी (हाइपोटिन्यूज़ की लंबाई) के लिए हल करना होगा: एक / पाप ए = सी / पाप सी. सूत्र जटिल लग सकता है, लेकिन 90 डिग्री का स्तन निरंतर होता है और हमेशा 1 के बराबर होता है! अब समीकरण को सरल करें: एक / पाप ए = सी / 1 या: एक / पाप ए = सी.

साइड की लंबाई को विभाजित करें को कोने के स्तन के लिए एक हाइपोटिन्यूज का मूल्य जानने के लिए! आप इसे दो अलग-अलग चरणों में कर सकते हैं, पहले गणना करके स्तन ए की और परिणाम की व्याख्या करते हैं और फिर बाद में एक को विभाजित करते हैं। वैकल्पिक रूप से, कैलकुलेटर में सभी मान दर्ज करें। यदि आप यह दूसरी विधि पसंद करते हैं, तो विभाजन चिह्न के बाद कोष्ठक टाइप करने के लिए मत भूलना। उदाहरण के लिए, टाइप करें: 10 / (पाप 40) या 10 / (40 पाप), कैलकुलेटर मॉडल पर आधारित

हमारे उदाहरण में आपको वह मिलेगा पाप 40 = 0.64278761 इस बिंदु पर c खोजने के लिए, इस संख्या के लिए एक की लंबाई को विभाजित करें: 10 / 0.64278761 = 15.6, यह हाईपोटिन्यूज लंबाई का मूल्य है!

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