पुनरावर्ती रिपोर्ट कैसे हल करें
कुछ गणितीय दृश्यों के लिए एक सूत्र की तलाश करते समय, एक मध्यवर्ती चरण में अन्तर्निर्मित चरण के लिए कार्य करना होता है "n", लेकिन पहले शब्दों के अनुक्रम के रूप में उदाहरण के लिए, यह फाइबोनैचि अनुक्रम की n वें पद के लिए एक बंद सूत्र के लिए अच्छा होगा, लेकिन कभी कभी आपके पास एक पुनरावर्ती संबंध है, कि है, हम जानते हैं कि फाइबोनैचि अनुक्रम में से प्रत्येक अवधि दो पूर्ववर्ती संख्या का योग है। यह लेख पुनरावर्ती रिश्ते द्वारा बंद किए गए फार्मूला को कम करने के लिए कुछ तरीके पेश करेगा।
कदम
विधि 1
अंक-संबंधी
1
हम अंकगणितीय अनुक्रम 5, 8, 11, 14, 17, 20, पर विचार करें ...
2
चूंकि प्रत्येक अवधि पूर्ववर्ती प्लस 3 के द्वारा दी गई है, यह एक पुनरावृत्ति के रूप में व्यक्त की जा सकती है, जैसा कि आंकड़े में दिखाया गया है।
3
हमेशा ध्यान रखें कि सूत्र की कोई पुनरावृत्ति एकn = एn-1 + डी एक अंकगणितीय अनुक्रम है
4
अंकगणित अनुक्रम के रूप में बंद सूत्र लिखें, संभवतः कुछ अज्ञात के साथ, जैसा कि आंकड़े में दिखाया गया है।
5
सूत्र कैसे शुरू होता है के आधार पर अज्ञात खोजें। इस मामले में, 5 शब्द 0 के बाद से, सूत्र एक होगाn = 5 + 3 एन यदि आप इसके बजाय 5 प्रथम पद पर विचार करना चाहते हैं, तो आपको करना होगाn = 2 + 3 एन
विधि 2
ज्यामितिक
1
ज्यामितीय क्रम 3, 6, 12, 24, 48, पर विचार करें ...
2
चूंकि प्रत्येक शब्द पिछले एक से दो बार है, यह आंकड़े में दिखाए गए फार्मूले का उपयोग करके एक पुनरावर्ती संबंध के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
3
हमें पता है कि सूत्र की हर पुनरावृत्ति एकn = आर * ए(एन -1) यह एक ज्यामितीय अनुक्रम है
4
एक ज्यामितीय अनुक्रम के लिए बंद सूत्र लिखें, संभवतः कुछ अज्ञात के साथ दिखाया गया है।
5
सूत्र शुरू होने के आधार पर अज्ञात को हल करें। इस मामले में, 3 शब्द 0 है, इसलिए सूत्र एक बन जाएगाn = 3 * 2n. 3 को ध्यान में रखते हुए पहला कार्यकाल है, आप इसके बदले इसे प्राप्त करेंगेn = 3 * 2(एन -1).
विधि 3
बहुपद
1
आइए हम अनुक्रम 5, 0, -8, -17, -25, -30, ... चित्रा में दिखाए क्रम से दिए गए हैं।
2
सूत्र के प्रत्येक घटना से पता चला है, अर्थात् में जो पी (एन) उन n में किसी भी बहुपद है, यह पी की डिग्री करने के लिए एक उच्च डिग्री की एक बंद बहुपद सूत्र होगा।
3
आवश्यक डिग्री के बहुपद का सामान्य सूत्र लिखें इस उदाहरण में, पी एक वर्ग है, इसलिए आपको अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक क्यूबिक एक्सपोनेंट की आवश्यकता होगीn.
4
चूंकि एक सामान्य क्यूब में चार अज्ञात गुणांक होते हैं, परिणामी सिस्टम को हल करने के लिए क्रम की चार शर्तें आवश्यक हैं। चार में से प्रत्येक यह कर सकते हैं, ताकि आप शर्तों 0, 1, 2 का उपयोग कर सकते हैं, और 3. अवधि -1 आप व्यवस्था करने के लिए एक आसान समाधान दे सकता है खोजने के लिए पुनरावृत्ति के साथ वापस आ जाओ, लेकिन जरूरी नहीं है।
5
डिग्री समीकरणों की परिणामस्वरूप प्रणाली को हल करें "डिग्री (पी) 2" के बराबर अनगिनत संख्या के साथ "डिग्री (पी) = 2" के रूप में आंकड़ा में सचित्र।
6
अगर "को" आप गुणांक को हल करने के लिए इस्तेमाल की गई शर्तों में से एक थे, आपको बहुपद की निरंतर अवधि मिलेगी और आपको सिस्टम को एक डिग्री समीकरण में कम करने की अनुमति मिलेगी "डिग्री (पी) +1" के बराबर अनगिनत संख्या के साथ "डिग्री (पी) +1" (आंकड़ा देखें)।
7
सी प्राप्त करने के लिए रैखिक समीकरणों के सिस्टम को हल करें3 = 1/3, सी2 = -5 / 2, सी1 = -17/6, और सी = 5 का प्रतिनिधित्व करता है फार्मूला एक के लिए बंदn ज्ञात गुणांक के साथ एक बहुपद के रूप में
विधि 4
रैखिक
1
यह पहली विधि फाइबोनैचि अनुक्रम जो परिचय में चर्चा की है हल कर सकते हैं, लेकिन यह भी हर अवसर, जिसमें n वें पद शर्तों पिछले कश्मीर की एक रेखीय अनुक्रम है हल करती है। पहले उदाहरण 1, 4, 13, 46, 157, के उदाहरण के साथ कोशिश करें ...
2
पुनरावृत्ति की विशेषता बहुपद लिखें प्रत्येक को बदलने के द्वारा इसे प्राप्त किया जाता हैn एक्स के साथ सालगिरह परn और एक्स से विभाजित(एन ट) डिग्री कश्मीर के एक मोनोशिअल और शून्य से अलग एक निरंतर शब्द प्राप्त करना
3
विशेषता बहुपद को हल करें इस मामले में विशेषता दूसरी डिग्री की है, इसलिए यह सूत्र का उपयोग करना संभव है द्विघात समीकरण इसकी जड़ खोजने के लिए
4
दिखाए गए फार्मूले की प्रत्येक अभिव्यक्ति पुनरावृत्ति को संतुष्ट करती है। सी हर स्थिर है और प्रतिपादकों का आधार पिछले चरण में गणना की गई विशेषता की जड़ है। इसे प्रेरण द्वारा सत्यापित किया जा सकता है।
5
ग शब्द की गणना करें जो दिए गए विशिष्ट प्रारंभिक स्थितियों को पूरा करते हैं बहुपद के उदाहरण के रूप में, यह परिणाम प्रारंभिक शब्दों से समीकरणों की एक रेखीय प्रणाली बनाकर प्राप्त किया जाता है। चूंकि उदाहरण के दो अज्ञात हैं, इसलिए दो शब्दों की आवश्यकता होगी। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता है, इसलिए आप पदों 0 और 1 को लेकर एक तर्कसंगत संख्या को एक उच्च शक्ति पर बढ़ा सकते हैं।
6
परिणामस्वरूप समीकरण प्रणाली को हल करें
7
समाधान के रूप में सामान्य सूत्र में प्राप्त स्थिरांक दर्ज करें।
विधि 5
निर्माण कार्य
1
आंकड़े में दिखाए गए पुनरावृत्ति के अनुक्रम 2, 5, 14, 41, 122 पर विचार करें। इस तरह की पुनरावृत्ति को ऊपर वर्णित विधियों से हल नहीं किया जा सकता, लेकिन सृजनशील कार्यों का उपयोग करके एक सूत्र प्राप्त करना संभव है।
2
अनुक्रम पैदा समारोह लिखें। एक सृजन समारोह केवल शक्तियों की एक औपचारिक श्रृंखला है, जिसका x का गुणांकn यह अनुक्रम का अन्तर्वासहवें कार्यकाल है।
3
चित्रा में दिखाए गए अनुसार सृजनात्मक कार्य को संशोधित करें। इस बिंदु पर लक्ष्य एक समीकरण को खोजना है जो आपको सृजित फ़ंक्शन A (x) को हल करने की अनुमति देता है। प्रारंभिक शब्द निकालें उन शर्तों तक पुनरावृत्ति सूत्र को लागू करें जो शेष रहते हैं। राशि को विभाजित करें लगातार शब्दों को निकालें ए (एक्स) की परिभाषा का उपयोग करें एक ज्यामितीय श्रृंखला के योग के लिए सूत्र का उपयोग करें।
4
सृजित फ़ंक्शन ए (एक्स) प्राप्त करें
5
एक्स के गुणांक प्राप्त करेंn ए (एक्स) में तरीकों यह क्या यह की तरह एक (एक्स) लग रहा है के आधार पर बदल प्राप्त करने के लिए, लेकिन आंशिक भिन्न, एक ज्यामितीय अनुक्रम का सृजन समारोह के ज्ञान के साथ संयुक्त की कि, चित्र में दिखाया गया है।
6
एक के लिए फार्मूला लिखेंn एक्स के गुणांक की पहचानn ए (एक्स) में
टिप्स
- प्रेरण एक और बहुत ही प्रचलित विधि है। कभी-कभी यह साबित करना आसान होता है कि एक विशिष्ट सूत्र एक विशिष्ट पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है, लेकिन समस्या ये है कि हमें पहले सूत्र का अनुमान लगाया जाना चाहिए।
- इनमें से कुछ विधियों को कई गणना की आवश्यकता होती है और स्वयं त्रुटि को उधार देते हैं कुछ ज्ञात शर्तों के साथ हमेशा सूत्र जांचना सर्वोत्तम है
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