कैसे एक घन की मात्रा की गणना करने के लिए

क्यूब एक त्रि-आयामी ज्यामितीय ठोस है, इसकी ऊंचाई, चौड़ाई और गहराई माप समान हैं। एक घन 6 वर्ग के चेहरे से बना है जिसमें सभी एक ही तरफ और दायां कोण हैं। क्यूब की मात्रा की गणना करना बहुत सरल है, क्योंकि यह साधारण गुणा करने के लिए आम तौर पर आवश्यक है: लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई

सामग्री

कदम

विधि 1
विधि 2
विधि 3

. चूंकि क्यूब के पक्ष सभी समान हैं, इसलिए वॉल्यूम की गणना के लिए सूत्र निम्नानुसार हो सकता है एल³, जहाँ एल ठोस के एक तरफ के माप को दर्शाता है विभिन्न तरीकों से घन की मात्रा की गणना करने के तरीके जानने के लिए लेख पढ़ना जारी रखें।

कदम

विधि 1

एक साइड की लंबाई को जानने का

क्यूब के किनारे की लंबाई ढूंढें अक्सर गणित की समस्याएं जो घन की मात्रा की गणना करने की आवश्यकता होती है, एक तरफ की लंबाई प्रदान करते हैं। यदि आपके पास यह जानकारी है, तो आपके पास गणना करने की आवश्यकता है। यदि आप एक सार गणित या ज्यामिति समस्या के साथ काम नहीं कर रहे हैं, लेकिन आप किसी वास्तविक भौतिक वस्तु की मात्रा की गणना करने का प्रयास कर रहे हैं, पक्षों में से किसी एक की लंबाई को मापने के लिए एक शासक या मीटर का उपयोग करें

क्यूब के वॉल्यूम की गणना करने के लिए प्रक्रिया को बेहतर ढंग से समझने के लिए, इस खंड के चरणों में, हम एक उदाहरण समस्या को संबोधित करेंगे। चलो एक घन जिसका साइड उपायों की जांच मान लें 5 सेमी. निम्न चरणों में हम मात्रा का पता लगाने के लिए इस डेटा का उपयोग करेंगे।

क्यूब में तरफ की लंबाई दें एक बार जब हमने क्यूब के एक तरफ के आकार की पहचान की है, तो उस मान को क्यूब में बढ़ाएं। दूसरे शब्दों में हम इस नंबर को अपने आप तीन गुणा गुणा करते हैं। अगर एल प्रश्न में क्यूब के किनारे की लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है, हमें निम्नलिखित गुणा करना होगा: एल × एल × एल (अर्थात, एल³)। इस तरह हम प्रश्न में घन की मात्रा प्राप्त करेंगे।

यह प्रक्रिया अनिवार्य रूप से ठोस आधार के क्षेत्र की गणना करने के लिए समान है और फिर इसे इसकी ऊंचाई से गुणा करती है और चूंकि आधार क्षेत्र की लंबाई और चौड़ाई गुणा करके गणना की जाती है, दूसरे शब्दों में हम सूत्र का उपयोग करेंगे: लंबाई × लंबाई चौड़ाई × ऊंचाई यह जानते हुए कि घन की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई समान है, हम क्यूब में इन उपायों में से एक को बढ़ाकर गणना को आसान बना सकते हैं।

आइए हमारे उदाहरण के साथ आगे बढ़ें। चूंकि क्यूब के एक तरफ की लंबाई 5 सेमी है, इसलिए हम इस गणना के द्वारा मात्रा की गणना कर सकते हैं: 5 x 5 x 5 (यानी 5³) = 125.

माप के एक क्यूबिक इकाई के साथ अंतिम परिणाम को व्यक्त करें। चूंकि किसी ऑब्जेक्ट की मात्रा उसके कब्जे वाले त्रि-आयामी स्थान को मापती है, इसलिए माप की इकाई जो इस परिमाण को व्यक्त करती है, वह क्यूबिक होना चाहिए। अक्सर, परीक्षणों या गणितीय परीक्षाओं के दौरान सही इकाइयों का उपयोग नहीं करते जो स्कूल के वातावरण में सामने आते हैं, आपको स्कोर या कम अंक प्राप्त होते हैं, इसलिए इस पहलू पर अत्यधिक ध्यान देना अच्छा है।

हमारे उदाहरण में, घन के किनारे का प्रारंभिक उपाय सेमी में व्यक्त किया जाता है, इसलिए हमने प्राप्त अंतिम परिणाम में व्यक्त किया जाना चाहिए "घन सेंटीमीटर" (वह है, सेमी³)। इस बिंदु पर, हम बता सकते हैं कि अध्ययन की गई घन की मात्रा बराबर है 125 सेमी³.

यदि हमने माप की एक अलग प्रारंभिक इकाई का इस्तेमाल किया था, तो अंतिम परिणाम बदल जाएगा। उदाहरण के लिए, यदि क्यूब की तरफ 5 लंबाई थी मीटर की दूरी पर, 5 सेंटीमीटर के बजाय, हम एक अंतिम परिणाम प्राप्त कर चुके होंगे क्यूबिक मीटर (यानी मी³)।

विधि 2

सतह क्षेत्र को जानने

घन के सतह क्षेत्र का पता लगाएँ यद्यपि अधिक से अधिक सरल एक घन की मात्रा की गणना करने के लिए पक्षों में से एक की लंबाई पता है, वे भी मौजूद हैं अधिक एक ही परिणाम प्राप्त करने के तरीके घन के एक तरफ की लंबाई या उसके चेहरे के क्षेत्रफल की गणना इस ठोस की अन्य मात्राओं से की जा सकती है इसका मतलब है कि, इन दो आंकड़ों में से एक को जानने के लिए, व्युत्क्रम सूत्रों का उपयोग कर मात्रा की गणना करना संभव है। उदाहरण के लिए, मान लें कि हम घन के सतह क्षेत्र को जानते हैं - इस डेटा से शुरू करने से हमें अपने वॉल्यूम में वापस जाने के लिए करना होगा इसे 6 से विभाजित करें और परिणाम के वर्गमूल की गणना करें, इस प्रकार एक तरफ की लंबाई प्राप्त करें. इस बिंदु पर, हमारे पास पारंपरिक तरीके से एक घन की मात्रा की गणना करने के लिए हमें कुछ भी ज़रूरत है। लेख के इस खंड में हम कदम से कदम की प्रक्रिया की जांच करेंगे।

क्यूब का सतह क्षेत्र सूत्र के द्वारा गणना की जाती है 6एल², जहाँ एल क्यूब के एक पक्ष की लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है यह सूत्र क्यूब के 6 चेहरे में से प्रत्येक के सतह क्षेत्र की गणना के बराबर है और प्राप्त परिणामों को एक साथ जोड़ता है। अब हम इस फार्मूले का उपयोग कर सकते हैं, या इसके विपरीत विभिन्न रूप से उलटा सूत्र, इसकी सतह क्षेत्र से शुरू होने वाले घन के आयतन की गणना कर सकते हैं।
उदाहरण के लिए, हम मानते हैं कि हमारे पास एक घन है जिसका कुल सतह क्षेत्र बराबर है 50 सेमी², लेकिन जिनमें से हम पक्षों की लंबाई नहीं जानते हैं इस खंड के अगले चरणों में हम इस समस्या का उपयोग कैसे करते हैं, ताकि प्रश्न में क्यूब की मात्रा प्राप्त कर सकें।

हम सतह क्षेत्र को 6 से विभाजित करके शुरू करते हैं चूंकि एक घन 6 समान चेहरे से बना है, उनमें से एक का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए यह केवल 6 तक कुल सतह क्षेत्र को विभाजित करने के लिए पर्याप्त है। घन के चेहरे का क्षेत्रफल लंबाई की गुणा करके प्राप्त किया जाता है। दो पक्ष जो इसे रचना करते हैं (लंबाई × चौड़ाई, चौड़ाई × ऊंचाई या ऊंचाई × लंबाई)।

हमारे उदाहरण में हम कुल क्षेत्रफल को 50/6 = प्राप्त करने वाले चेहरे की संख्या से विभाजित करेंगे 8.33 सेमी². याद रखें कि माप की इकाइयां हमेशा दो-आयामी क्षेत्र को व्यक्त करने के लिए उपयोग की जाती हैं वर्ग (सेमी², मीटर² और इसी तरह)

हम प्राप्त परिणाम के वर्गमूल की गणना करते हैं। यह जानते हुए कि घन के चेहरों में से एक का क्षेत्रफल बराबर है एल² (यानी एल × एल), इस मूल्य के वर्गमूल की गणना करके, एक तरफ की लंबाई प्राप्त की जाती है। एक बार जब हम इस मूल्य को प्राप्त करते हैं, तो हमारे पास हमारी समस्या को क्लासिक तरीके से हल करने की जरूरत है।

हमारे उदाहरण में हमें √ 8,33 = मिलेगा 2.89 सेमी.

क्यूब को परिणाम दें अब जब हम जानते हैं कि हम अपने घन के एक तरफ को मापते हैं, तो मात्रा का आकलन करने के लिए हम उस माप को घन (यानी तीन बार गुणा करके) बढ़ाएंगे, जैसा कि लेख के पहले खंड में विस्तार से दिखाया गया है। बधाई हो, अब आप अपने कुल सतह क्षेत्र से घन की मात्रा की गणना करने में सक्षम हैं!

हमारे उदाहरण में हम 2.89 × 2.89 × 2.89 = मिलेंगे 24.14 सेमी³. मत भूलो कि खंड तीन आयामी आकार हैं, इसलिए इसे क्यूबिक इकाइयों में व्यक्त किया जाना चाहिए।

विधि 3

विकर्णों को जानने

घन के विकर्णों में से एक की लंबाई √2 के मुकाबले अलग करें, इस प्रकार एक तरफ के माप को प्राप्त करना। परिभाषा के अनुसार, एक वर्ग का विकर्ण √2 × के रूप में गणना किया जाता है एल, जहाँ एल एक तरफ की लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है यहां से हम इसका पता लगा सकते हैं कि यदि आपके पास उपलब्ध जानकारी केवल क्यूब के चेहरे की विकर्ण की लंबाई है, तो इस मूल्य को √ 2 से विभाजित करने वाली एक तरफ की लंबाई पर वापस जाना संभव है। हमारे ठोस के एक तरफ के माप को प्राप्त करने के बाद, लेख के पहले खंड में वर्णित मात्रा की गणना करना बहुत आसान है।

उदाहरण के लिए, हम मानते हैं कि हमारे पास एक घन है जिसके चेहरे का विकर्ण मापा जाता है 7 मीटर. हम √ 2 द्वारा विकर्ण को विभाजित करके 7 / √2 = 4.96 मीटर प्राप्त करके एक तरफ की लंबाई की गणना कर सकते हैं। अब जब कि हम अपने घन के एक तरफ को जानते हैं, हम आसानी से मात्रा की गणना कर सकते हैं 4.96³ = 122.36 मीटर³.
नोट: निम्नलिखित समीकरण सामान्य शब्दों में लागू होता है घ² = 2एल², जहाँ घ क्यूब ए के चेहरे में से एक के विकर्ण की लंबाई है एल यह पक्षों में से एक का माप है यह सूत्र पाइथागोरियन प्रमेय के लिए वैध धन्यवाद है, जिसमें कहा गया है कि एक सही त्रिभुज का कर्ण कर्ण दो कैथिटेस पर बनाए गए वर्गों के योग के बराबर है। चूंकि विकर्ण क्यूब के चेहरे और विकर्ण दोनों के द्वारा बनाए गए त्रिभुज के कर्ण से अधिक कुछ नहीं है, इसलिए हम यह कह सकते हैं कि घ² = एल² + एल² = 2एल².

यहां तक कि एक घन के आंतरिक विकर्ण को जानना संभव है कि वॉल्यूम की गणना करना संभव है यदि आपके लिए उपलब्ध एकमात्र डेटा क्यूब के आंतरिक विकर्ण की लंबाई है, यानी खंड जो ठोस के दो विपरीत किनारों को जोड़ता है, तो आप अभी भी मात्रा पा सकते हैं। इस मामले में, हमें आंतरिक विकर्ण के वर्गमूल की गणना करने और 3 से प्राप्त परिणाम विभाजित करने की आवश्यकता है। चूंकि चेहरे में से एक का विकर्ण, घ, यह दाहिने कोण वाले त्रिभुज में से एक है जो कि घन हाइपोटिन्यूज के आंतरिक विकर्ण है, हम यह पुष्टि कर सकते हैं कि डी² = 3एल², जहाँ डी यह आंतरिक विकर्ण है जो ठोस के दो विपरीत किनारों में शामिल होता है और एल यह तरफ है

यह हमेशा पाइथागॉरियन प्रमेय के लिए सच है धन्यवाद। खंडों डी, घ और एल वे एक दाहिने कोण वाले त्रिकोण का निर्माण करते हैं, जहां डी यह हाइपोटिन्यूज है - इसलिए, पाइथागोरियन प्रमेय के आधार पर, हम यह बता सकते हैं कि डी² = घ² + एल². चूंकि पिछले बीतने में हमने यह कहा था घ² = 2रों², हम इन शुरुआती सूत्र को सरल बना सकते हैं डी² = 2एल² + एल² = 3एल².

उदाहरण के लिए, मान लें कि ऊपरी चेहरे के संबंधित विपरीत कोने में बेस के कोनों में से एक को जोड़कर घन का आंतरिक विकर्ण 10 मीटर होता है यदि हमें मात्रा की गणना करने की आवश्यकता है, तो हमें वैल्यू 10 को वैरिएबल में बदलने की जरूरत है "डी" ऊपर वर्णित समीकरण का, प्राप्त करना:

डी² = 3एल².

10² = 3एल².

100 = 3एल²

33.33 = एल²

5.7 मी = एल। एक बार जब परीक्षा के तहत घन के एक ओर की लंबाई प्राप्त की जाती है, तो हम इसे क्यूब पर चढ़कर, वॉल्यूम पर वापस जाने के लिए इसका उपयोग कर सकते हैं

5.77³ = 192.45 मीटर³

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