कैसे निर्धारित करें कि कोई अनन्त सीरीज कनवर्ज करता है

अंतहीन श्रृंखला चुनौतीपूर्ण और भ्रामक हो सकती है, क्योंकि वे कल्पना करना काफी कठिन हैं। पहली नज़र में, यह समझने में काफी मुश्किल है कि क्या एक श्रृंखला एकजुट होती है या नहीं - कुछ सदियों पहले इसमें इस तरह की एक समस्या को हल करने में कुछ समय लगेगा। लेकिन अब, कई शानदार गणितज्ञों के लिए धन्यवाद, हम यह समझने के लिए परीक्षण का उपयोग कर सकते हैं कि क्या कोई सीरीज संक्रमित है या नहीं, और यह बहुत उपयोगी है। परीक्षणों को समझने के लिए उपयोग किया जाता है कि श्रृंखला को एकजुट नहीं किया जा सकता है या नहीं, इस राशि को खोजने के लिए नहीं। सुनिश्चित करें कि आपके पास विश्लेषण की अच्छी समझ है

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जांचें कि क्या यह एक ज्यामितीय श्रृंखला है यह प्रमेय की पहचान करना बहुत सरल और आसान है, इसलिए आपको हमेशा जांचना चाहिए कि यह मान्य है या नहीं। एक ज्यामितीय श्रृंखला एक अनंत राशि है, जिसका सूत्र r ^ k है, जहां k चर है और r 1 से अधिक है और 1 से कम है। एक ज्यामितीय श्रृंखला हमेशा परिवर्तित होती है। इसके अलावा आप श्रृंखला का योग भी पा सकते हैं, जो 1 / (1-आर) द्वारा दिया गया है।

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जांचें कि क्या यह पी श्रृंखला है पी श्रृंखला फॉर्म 1 / (x ^ p) के कार्यों का सारांश है, जहां x एक संख्या है। प्रमेय का कहना है कि अगर 1 से बड़ा है, तो श्रृंखला में कनवर्ज किया जाता है, यदि पी 1 से कम या बराबर है, तो श्रृंखला अलग हो जाती है। इसका मतलब यह है कि हमारा पहला उदाहरण, 1 / एक्स, में विचलित हो जाता है कि यह 1 / (x ^ 1) के समान है, इस मामले में p = 1. इसे हार्मोनिक श्रृंखला कहा जाता है। 1 / (x ^ 2) कनवर्ज, क्योंकि 2 1 से बड़ा है

तुलना मानदंड मान लीजिए कि हमारे पास सकारात्मक शब्दों, एक (एन) और बी (एन) के साथ दो श्रृंखलाएं हैं। उसके बाद: i) यदि बी (एन) के असीमित योग और एक (एन) बी (एन) से कम (पर्याप्त रूप से बड़े एन के लिए) है, तो एक (एन) का योग भी परिवर्तित होता है। ii) यदि बी (एन) विचलन और एक (एन) > बी (एन), फिर ए (एन) भी अलग हो जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास 2 / x- श्रृंखला है, तो हम इसकी तुलना 1 / एक्स से कर सकते हैं। चूंकि हम पहले से जानते हैं कि 1 / x भिन्न है, और 2 / x से > 1 / एक्स, तो यह इस प्रकार है कि 2 / एक्स भी अलग-अलग हो। इस प्रकार, मूल विधि यह निर्धारित करने के लिए ज्ञात श्रृंखला का उपयोग करना है कि अज्ञात श्रृंखला कनवर्जेज या डिवर्जेज हो।

Asymptotic तुलना मानदंड एक (एन) और ख (एन) सकारात्मक शर्तों से और अगर श्रृंखला कर रहे हैं की सीमा (एन) / b (एन) मौजूद है और 0 से अधिक है, तो दोनों श्रृंखला अभिसरण या दोनों वितरित हो जाते हैं। फिर से, यह एक ज्ञात श्रृंखला के उपयोग की आवश्यकता है, और विधि आम तौर पर एक दूसरी श्रृंखला चुनने के लिए होती है जिसका अधिकतम शक्ति उसी तिथि की अधिकतम शक्ति के समान है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास 1 / (x ^ 3 + 2x + 1) था, तो इसे 1 / (x ^ 3) की तुलना करने के लिए समझ में आता है।

अभिन्न का मानदंड एक समारोह के सकारात्मक मूल्यों, सतत और एक्स के बराबर या अधिक से अधिक फिर 1. अनंत श्रृंखला च (एन) के लिए कम हो रही है, तो 1 और च के अनंत के बीच अगर अभिन्न अभिमुख (एक्स) मौजूद है, और अगर अभिन्न नहीं diverges यह मौजूद है। तो मूल रूप से, यह फ़ंक्शन को एकीकृत करने और अनन्तता की सीमा को खोजने के बारे में है। यदि यह मौजूद है, तो श्रृंखला संक्रमित होती है, अगर ऐसा नहीं होता है तो यह अलग हो जाता है।