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निचले और ऊपरी सीमाओं को कैसे खोजें

वास्तविक संख्या का एक समूह, एस, माना जाता है सीमित

अगर यह पूरा हो गया है, जिसमें संपूर्ण संख्या में सभी अन्य संख्याओं से अधिक या उसके बराबर संख्या और संपूर्ण में अन्य सभी संख्याओं के बराबर या उससे कम संख्या है। क्या आपको वास्तविक संख्याओं के खाली-खाली सेट की निचली और ऊपरी सीमाओं को ढूंढने की आवश्यकता है? चरण 1 पर जाएं

कदम

विधि 1
मूल बातें को समझना

वर्क आऊट ऊपरी और लोअर बाउंस शीर्षक वाली छवि चरण 1
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ऊपरी सीमा की अवधारणा को समझना यदि वास्तविक संख्याओं का एक सेट, जो एस द्वारा दर्शाया गया है, में वास्तविक संख्या ए ∈ आर शामिल है, जैसे कि सबसेट एस की प्रत्येक संख्या A से कम या बराबर है, फिर एस कहा जाता है श्रेष्ठ सीमित. ए ऊपरी सीमा है गणितीय रूप से इसे निम्नानुसार व्यक्त किया गया है:
∀x∈S⇒x≤A।
यदि एस में ऊपरी सीमा नहीं है, तो कहा जाता है श्रेष्ठ असीमित.
  • यदि सेट एस की ऊपरी सीमा के बीच एक छोटा तत्व है, तो यह संख्या कहा जाता है ऊपरी छोर संपूर्ण और sups के साथ संकेत दिया है
  • अगर एक सेट एस में कम से कम एक ऊपरी सीमा होती है, तो उस संख्या से अधिक असीम ऊपरी सीमा होती है।
  • वर्क आऊट ऊपरी और लोअर बाउंस शीर्षक वाली छवि चरण 2
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    कम सीमा की अवधारणा को समझना यदि वास्तविक संख्याओं का एक समूह, जो एस द्वारा दर्शाया गया है, में वास्तविक संख्या बी ∈ आर शामिल है, जैसे कि सबसेट एस की प्रत्येक संख्या बी के बराबर या उसके बराबर है, फिर एस ने कहा है निचले सीमित. बी कम सीमा है गणितीय, यह निम्नानुसार संकेत दिया गया है:
    ∀x∈S ⇒x≥B
    यदि एस की कम सीमा नहीं है, तो यह कहा जाता है अवरक्त असीमित.
  • यदि सेट एस की निचली सीमाओं के बीच एक बड़ा तत्व है, तो इस सदस्य को कहा जाता है कम चरम संपूर्ण और infs के साथ संकेत दिया है
  • यदि कोई सेट एस कम से कम एक निचली सीमा है, तो उस संख्या से कम अनन्त अन्य निचला सीमाएं हैं।

    • विधि 2
    ऊपरी और निचली सीमाएं ढूंढें

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    जाँच करें कि सेट ऊपर सीमित है या नहीं। वास्तविक संख्या का एक सेट के लिए तो एस, ∃A∈R ऐसे ∀x∈S ⇒x≤A, तो एक कहा जाता है कि एस के ऊपरी चरम दूसरे शब्दों में, अगर वहाँ एक वास्तविक संख्या एक ऐसी है कि प्रत्येक संख्या है संख्याओं के सेट से लिया गया उस से कम या उसके बराबर है, सेट ऊपर सीमित है
    • उदाहरण के लिए, मान लें कि आपके पास वास्तविक संख्या का निम्न सेट है, S: {1, -1/4, 1/9, 1/16 ...}। इस उदाहरण में, एक वास्तविक संख्या A है जो कि 1 के बराबर है, और प्रत्येक नंबर सेट में उस से कम या उसके बराबर होगा इस प्रकार, संपूर्ण श्रेष्ठता सीमित है
  • वर्क आऊट ऊपरी और लोअर बाउंड्स स्टेप 4 नामक छवि
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    जांच करें कि सेट सीमित रूप से सीमित है या नहीं। वास्तविक संख्या, एस, ∃B∈R का एक सेट के लिए अगर इस तरह के ∀x∈S⇒x≥B, तो बी दूसरे शब्दों में एस की निचली सीमा कहा जाता है कि, अगर वहाँ एक वास्तविक संख्या बी ऐसी है कि प्रत्येक संख्या है संख्याओं के सेट से लिया गया है या उसके बराबर है, संपूर्ण वास्तव में कम ही सीमित है
  • उपरोक्त उदाहरण में, एक वास्तविक संख्या B है जो -1/4 के बराबर है, और प्रत्येक संख्या में सेट में उस से अधिक या उसके बराबर होगा इस प्रकार, पूरे नीची सीमित है
  • वर्क आउट ऊपरी और लोअर बाउंस शीर्षक वाली छवि चरण 5



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    निर्धारित करें कि सेट का उच्च अंत है यदि सेट की ऊपरी सीमाओं के बीच एक छोटी संख्या है, तो इस नंबर को ऊपरी चरम कहा जाता है और यह sups के साथ इंगित किया जाता है
  • उपरोक्त उदाहरण में, 1 से अधिक कोई भी संख्या ऊपरी सीमा होगी, लेकिन 1 इन में से न्यूनतम है। इस प्रकार, 1 ऊपरी छोर है: sups = 1
  • वर्क आऊट ऊपरी और लोअर बाउंस शीर्षक वाली छवि चरण 6
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    निर्धारित करें कि सेट में कम अंत है अगर सेट की निचली सीमाओं के बीच एक बड़ी संख्या है, तो यह संख्या निचला बाउंड है, जो कि एनएफएस द्वारा दर्शाया गया है।
  • उपरोक्त उदाहरण में, 1/4 से कम कोई भी संख्या कम सीमा होगी, लेकिन -1 / 4 सबसे बड़ा है। इस प्रकार, -1/4 हमारी निचली सीमा है: infs = -1/4
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    संग्रह में सबसे बड़ा आइटम ढूंढें। एक संख्या सेट एस की अधिकतम है अगर a∈S⋀x∈S ≤x≤a दूसरे शब्दों में, यदि आप सेट से एक नंबर लेते हैं, और प्रत्येक संख्या उस की तुलना में कम या बराबर होती है, तो वह संख्या सेट में सबसे बड़ा तत्व है। इसे भी कहा जाता है अधिकतम.
  • उदाहरण में, ऐसी स्थिति है जो इस स्थिति को संतुष्ट करती है। यह संख्या 1 है, और 1 इसलिए पूरे की अधिकतम है।
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    टी पूरे के सबसे छोटे तत्व rovare। एक नंबर बी सेट एस का सबसे छोटा तत्व है, यदि b∈S⋀x∈S ≥ xbb दूसरे शब्दों में, यदि आप सेट से एक नंबर लेते हैं, और प्रत्येक संख्या की तुलना में अधिक या बराबर है, तो वह संख्या सेट में सबसे छोटा तत्व है। विनी ने यह भी कहा कम से कम.
  • उपरोक्त उदाहरण में, वास्तव में एक संख्या ख है जो इन स्थितियों में मौजूद है। यह संख्या -1/4 है, और -1/4 इसलिए सेट का न्यूनतम तत्व है।
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    संपूर्ण की ऊपरी और निचली सीमाएं लिखें आपके संग्रह की सबसे बड़ी और छोटी संख्या ऊपरी और निचली सीमाएं हैं
  • उपरोक्त उदाहरण में, हमारे पास एक सेट है जो 1 और -1 / 4 से दोनों ऊपरी और निचला सीमाबद्ध है

    • टिप्स

    • ऊंचा और चढ़ाव भी कहा जाता है समाप्त होता है.
    • यदि किसी सेट के ऊपरी या निचले बाउंड मौजूद हैं, तो वे अद्वितीय हैं एक चरम ऊपर और ऊपर और नीचे घिरा एक गैर खाली सेट के नीचे के अस्तित्व, पूर्णता आर के स्वयंसिद्ध द्वारा सुनिश्चित किया जाता है पूर्णता स्वयंसिद्ध का कहना है कि हर गैर खाली सेट जो ऊपर घिरा है एक supremum है, और कि प्रत्येक गैर खाली सेट है कि अवरक्त सीमित है, कम अंत है
    • ध्यान दें कि आपके ऊपरी और निचले चरम सीमाओं को पूरे का हिस्सा होना जरूरी नहीं है - यह एक कारण है कि आपको अपने संग्रह का सबसे बड़ा और सबसे छोटा सदस्य खोजने की आवश्यकता क्यों है।
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