विभेदक समीकरणों को कैसे हल करें

एक कोर्स में अंतर समीकरण

कदम

विधि 1

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अंतर समीकरण के आदेश और डिग्री की पहचान करें। एल `क्रम एक अंतर समीकरण का सर्वोच्च क्रम व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित किया जाता है - आईएल हद यह एक चर की उच्चतम शक्ति द्वारा दिया जाता है उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण में दिखाया गया है चित्रा 1 यह दूसरी और तीसरी डिग्री है।

विधि 2

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यदि वेरिएबल्स को अलग नहीं किया जा सकता है, जांचें कि क्या यह एक समरूप अंतर समीकरण है। एक अंतर समीकरण एम dx + N डीवाई = 0, सजातीय है अगर एक्स के प्रतिस्थापन और λx और λ की एक शक्ति है, जहां बिजली की λ मूल कार्य की डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है से गुणा मूल कार्य में λy परिणामों के साथ y। यदि यह आपका मामला है, तो नीचे दिए गए चरणों का पालन करें। एक उदाहरण के रूप में चित्र 3 देखें।

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अंतर समीकरण का उपयोग दो तरीकों कि ऊपर बताया गया हल नहीं किया जा सकता है, तो प्रपत्र वि / dx + Py = क्यू, जहां पी और क्यू अकेला एक्स के कार्य हैं या स्थिरांक हैं में एक रेखीय समीकरण के रूप में यह व्यक्त करने के लिए प्रयास करें। ध्यान दें कि यहां एक्स और वाई को एकांतर रूप से उपयोग किया जा सकता है यदि हां, तो इस प्रकार जारी रखें। एक उदाहरण के रूप में चित्र 4 देखें

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बर्नोली समीकरण को हल करें: dy / dx + p (x) y = q (x) yⁿ, निम्नानुसार है:

विधि 3

3

अधिक सामान्य रैखिक अंतर समीकरण को हल करने के लिए, जांचें कि क्या अंतर समीकरण चित्रा 7 में समीकरण (1) में दिखाए गए फॉर्म को संतुष्ट करता है। यदि यह मामला है, तो निम्न चरणों का पालन करके अंतर समीकरण हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, चित्रा 7 में दिए गए चरणों को देखें।

(1) का पूरा समाधान y = u + v द्वारा दिया जाता है

विधि 4

2

लगातार गुणांक के साथ nth क्रम के रैखिक अंतर समीकरण का संकल्प: जांच लें कि अंतर समीकरण चित्रा 9 में समीकरण (1) में दिखाए गए फॉर्म को संतुष्ट करता है। यदि हां, तो अंतर समीकरण को निम्नानुसार हल किया जा सकता है:

3

9 वीं सबसे सामान्य आदेश के एक रैखिक अंतर समीकरण को हल करने के लिए, जांचें कि क्या अंतर समीकरण चित्रा 10 में समीकरण (1) में दिखाए गए फॉर्म को संतुष्ट करता है। यदि यह मामला है, तो अंतर समीकरण को उसी विधि से हल किया जा सकता है, जो कि दूसरे आदेश रैखिक अंतर समीकरण को हल करने के लिए प्रयोग किया जाता है, जैसा कि निम्न है:

• ध्यान दें कि चक्रवृद्धि ब्याज कानून दैनिक जीवन के कई क्षेत्रों में लागू होता है उदाहरण के लिए, मान लें कि हम नमक एकाग्रता को कम करने के लिए पानी जोड़कर खारा समाधान को पतला करना चाहते हैं। आपको कितना पानी जोड़ना होगा और समाधान की एकाग्रता किस गति से भिन्न होती है, जिस पर आप पानी चलाते हैं?
  
  रों किसी भी समय समाधान में नमक की मात्रा =, एक्स = पानी की मात्रा समाधान और वी = समाधान की मात्रा में पारित कर दिया करते हैं। मिश्रण में नमक का एकाग्रता s / v द्वारा दिया जाता है। अब, मान लीजिए एक कुल्हाड़ी मात्रा समाधान से बाहर आता है कि इतना है कि नमक की मात्रा को गिरा दोनों (रों / v) कुल्हाड़ी, जिसमें से नमक, Δs की राशि में परिवर्तन, Δs = द्वारा दिया जाता है - (रों / v) कुल्हाड़ी। कुल्हाड़ी के लिए दोनों पक्षों को विभाजित, Δs / कुल्हाड़ी दे रही है = - (रों / v)। सीमा को Δx के रूप में लें।>0, और आप डी एस / dx = -s / v, जो ब्याज कानून यौगिक के रूप में, जहां y यहाँ है एस में एक अंतर समीकरण है होगा, टी एक्स और कश्मीर है -1 / वी।
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  न्यूटन के `कूलिंग लॉ` चक्रवृद्धि ब्याज कानून का एक और प्रकार है। यह पुष्टि करता है कि आस-पास के वातावरण के तापमान के सापेक्ष किसी शरीर की शीतलन की गति शरीर के तापमान और आस-पास के वातावरण के बीच के अंतर के आनुपातिक है। चलो x = आसपास के वातावरण से अधिक तापमान का तापमान, टी = समय- हमारे पास dx / dt = kx होगा, जहां k स्थिरांक है इस अंतर समीकरण का समाधान एक्स = सी और सी (केटी) है, जहां सी एक मनमाना स्थिर है, जैसा कि ऊपर है। मान लीजिए कि अतिरिक्त तापमान, एक्स, पहले 80 डिग्री पर था और एक मिनट के बाद 70 डिग्री तक गिर गया। यह 2 मिनट के बाद कैसा होगा?
  
  डेटा टी = समय, डिग्री में x = तापमान, हम 80 = सीई ^ (के * 0) = सी होगा इसके अलावा, 70 = सीई ^ (के * 1) = 80e ^ के, तो कश्मीर = एलएन (7/8)। यह इस प्रकार है कि x = 70e ^ (ln (7/8) टी) इस समस्या का एक विशेष समाधान है। अब टी = 2 दर्ज करें, आपको 2 मिनट के बाद एक्स = 70 ए ^ (एलएन (7/8) * 2) = 53.5 9 डिग्री मिलेगी।
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  समुद्र तल से ऊंचाई पर विकास के संबंध में वातावरण के विभिन्न परतेंऊष्मप्रौढ में, वायुमंडलीय दबाव पी ऊंचाई के अनुपात में समुद्र के स्तर से ऊपर बदलाव ज समुद्र तल से ऊपर यहां भी यह चक्रवृद्धि ब्याज के कानून का एक भिन्नता है। इस मामले में अंतर समीकरण डीपी / dh = kh है, जहां k स्थिरांक है
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  रसायन विज्ञान में, एक रासायनिक प्रतिक्रिया है, जिसमें एक्स अवधि टी में तब्दील राशि है की गति, एक्स के परिवर्तन के समय दर है। एक के बाद से = प्रतिक्रिया है, तो dx / dt = कश्मीर (एक-एक्स), जहां कश्मीर गति के निरंतर है के शुरू में एकाग्रता। यह चक्रवृद्ध ब्याज कानून का भी एक भिन्नता है जहां (ए-एक्स) अब एक आश्रित चर है। दोनों घ (एक-एक्स) / dt = -k (एक-एक्स), मैं डी (एक-x) / (एक-x) = -kdt। एकीकरण, देने के लिए ln (एक-x) = -KT + एक, एक-एक्स = एक जब टी = 0. उलटफेर, हम पाते हैं कि यह देखते हुए कि लगातार कश्मीर की गति = (1 / टी) ln (एक / (एक-x))।
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  विद्युत, एक वोल्टेज के साथ एक विद्युत सर्किट दिया वी और एक वर्तमान (एम्पियर), तनाव वी जब यह प्रतिरोध पर काबू पाता है, तब इसमें कमी आती है आर (ओम) सर्किट और प्रेरण की एल, समीकरण के अनुसार वी=iR + एल (di / dt), या di / dt = (वी - iR) /एल. यह भी चक्रवृद्धि ब्याज के कानून का एक भिन्नता है जहां वी - iR यह अब निर्भर चर है
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  ध्वनिकी में, एक साधारण हार्मोनिक कंपन में एक त्वरण होता है जो दूरी के नकारात्मक मूल्य के सीधे आनुपातिक होता है। याद रखना कि त्वरण दूरी का दूसरा व्युत्पन्न है, फिर घ²रों/डीटी² + कश्मीर²रों = 0, जहाँ रों = दूरी, टी = समय, और कश्मीर² इकाई दूरी पर त्वरण का उपाय है यह लगभग है सरल हार्मोनिक समीकरण, एक दूसरे क्रम वाला निरंतर गुणांक वाले रेखीय अंतर समीकरण, जैसा कि चित्रा 6, समीकरण (9) और (10) में हल किया गया है। समाधान है रों = सी₁cos kt + c₂पाप केटी.
  
  इसे सी की स्थापना के द्वारा और सरल किया जा सकता है₁ = बी पाप ए, सी₂ = बी कॉस ए। उनको बी पाप ए कॉस केटी + बी कॉस ए पाप केटी प्राप्त करने के लिए बदलें। त्रिकोणमितीय से हम जानते हैं कि पाप (x + y) = पाप x कॉस y + cos x sin y, ताकि अभिव्यक्ति कम हो रों = बी पाप (kt + ए). साधारण हार्मोनिक समीकरण का अनुसरण करने वाली लहर बी और बी के बीच की अवधि 2π /कश्मीर.
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  वसंत: चलो एक बड़े पैमाने पर वस्तु लेते हैं मीटर एक वसंत से जुड़ा हुआ है हुक के कानून के मुताबिक, जब स्प्रिंग खुद को बढ़ाता है या संपीड़ित करता है रों इसकी प्रारंभिक लंबाई (जिसे समतोल स्थिति भी कहा जाता है) के संबंध में इकाई, एक बहाल करने वाली शक्ति का उपयोग करती है एफ आनुपातिक रों, या एफ = -कश्मीर²रों. न्यूटन के दूसरे कानून के अनुसार (बल त्वरण के लिए द्रव्यमान वस्तु के बराबर है), तो हमारे पास होगा मी डी²रों/डीटी² = -कश्मीर²रों, या मी डी²रों/डीटी² + कश्मीर²रों = 0, जो साधारण हार्मोनिक समीकरण की अभिव्यक्ति है।
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  रियर कवच और बीएमडब्ल्यू R75 / 5 मोटरसाइकिल का वसंतनरम कंपन: ऊपर के रूप में कंपन में वसंत में विचार करें, एक भिगोना बल के साथ किसी भी प्रभाव, जैसे घर्षण बल, जो एक थरथरानवाला में दोलनों के आयाम को कम करता है, को भिगोना शक्ति कहा जाता है उदाहरण के लिए, एक भिगोना बल एक कार के आर्मोटिजर द्वारा प्रदान किया जाता है। आम तौर पर, भिगोना बल, एफ_घ, यह वस्तु की गति के लिए लगभग आनुपातिक है, वह है एफ_घ = -ग² डी एस / dt, जहाँ ग² यह एक निरंतर है वसूली बल के साथ भिगोना बल के संयोजन से, हम होंगे -कश्मीर²रों - ग² डी एस / dt = मी डी²रों/डीटी², न्यूटन के दूसरे कानून के मुताबिक या, मी डी²रों/डीटी² + ग² डी एस / dt + कश्मीर²रों = 0. यह अंतर समीकरण एक रैखिक द्वितीय क्रम समीकरण है जो सहायक समीकरण को हल करके हल किया जा सकता है श्री² + ग²आर + कश्मीर² = 0, जगह लेने के बाद s = e ^ (rt).
  द्विघात सूत्र के साथ हल करें आर₁ = (-ग²+ sqrt (ग⁴- 4mk²)) / 2मीटर- आर₂= (-ग² - sqrt (ग⁴ - 4mk²)) / 2मीटर.
• Sovrasmorzamento: यदि ग⁴ - 4mk² > 0, आर₁ और आर₂ वे वास्तविक और विशिष्ट हैं समाधान है रों = ग₁ई ^ (आर₁टी) + ग₂ई ^ (आर₂टी)। यह देखते हुए कि ग², मीटर, और कश्मीर² वे सकारात्मक हैं, sqrt (ग⁴ - 4mk²) सी से कम होना चाहिए², जिसका अर्थ है कि दोनों जड़ों, आर₁ और आर₂, वे नकारात्मक हैं, और कार्य तेजी से क्षय है इस मामले में, नहीं एक दोलन होता है एक मजबूत भिगोना बल, उदाहरण के लिए, एक उच्च चिपचिपाहट तेल या एक स्नेहक द्वारा दिया जा सकता है
• महत्वपूर्ण भिगोना: यदि ग⁴ - 4mk² = 0, आर₁ = आर₂ = -ग² / 2 मीटर. समाधान है रों = (ग₁ + ग₂टी) ई ^ ((- सी²/ 2m) टी). यह भी दोलन के बिना, एक घातीय क्षय है थोड़ी सी भी कमी, हालांकि, भिगोना बल में संतुलन बिन्दु पार हो जाने के बाद ऑब्जेक्ट को हिलाना होगा।
• Sottosmorzamento: यदि ग⁴ - 4mk² < 0, जड़ें जटिल होती हैं -ग / 2m +/ - ω, जहां ω = sqrt (4mk² - ग⁴)) / 2मीटर. समाधान है रों = ई ^ (- (ग²/ 2m) टी) (ग₁ कॉस ωटी + ग₂ पाप ωटी)। यह कारक ई ^ (- (- (ग²/ 2m) टी. यह देखते हुए कि ग² और मीटर वे दोनों सकारात्मक हैं, और ^ (- (ग²/ 2m) टी) शून्य होने पर होगा जब टी यह अनन्तता दृष्टिकोण करता है यह इस प्रकार है कि जितनी जल्दी या बाद में बाइक शून्य हो जाएगी

टिप्स

• यह देखने के लिए कि समीकरण संतुष्ट है, मूल अंतर समीकरण में समाधान को बदलें। इस प्रकार आप जांच सकते हैं कि क्या समाधान सही है।
• नोट: अंतर गणना के व्युत्क्रम को कहा जाता है अभिन्न गणना, प्रभाव है कि उदाहरण के लिए continuamente- बदलने की राशि की राशि से संबंधित है, दूरी गणना एक वस्तु जिसका तात्कालिक परिवर्तन (गति) एक समय अंतराल में जाना जाता है के द्वारा कवर (साथ d = आरटी तुलना) कि।
• कई अंतर समीकरणों को ऊपर वर्णित विधियों से हल नहीं किया जा सकता है। हालांकि, उपरोक्त विधियां कई आम अंतर समीकरणों को हल करने के लिए पर्याप्त हैं।