हाथ से स्क्वायर रूट की गणना कैसे करें
कंप्यूटर के आगमन से पहले, छात्रों और प्रोफेसरों को हाथ से वर्ग की जड़ों की गणना करना पड़ता था। इस भारी प्रक्रिया से निपटने के लिए कई तरीकों का विकास किया गया है: कुछ अनुमानित परिणाम देते हैं, अन्य सटीक मूल्य देते हैं। सरल कार्यों का उपयोग करते हुए किसी संख्या का वर्गमूल कैसे प्राप्त करें, यह जानने के लिए पढ़ें।
कदम
विधि 1
प्रथम संख्या में फैक्टरॉजीकरण का उपयोग करें1
अपनी संख्या को उन कारकों में विभाजित करें जो सही वर्ग हैं। यह विधि वर्गमूल (संख्या के प्रकार के अनुसार, आप एक सटीक संख्यात्मक उत्तर या साधारण सन्निकटन पा सकते हैं) को खोजने के लिए किसी संख्या के कारकों का उपयोग करता है। एक संख्या के कारक अन्य संख्याओं की संख्या हैं, जो एक-दूसरे से गुणा करती हैं, नतीजे में ही स्वयं की संख्या होती है। उदाहरण के लिए, आप कह सकते हैं कि 8 के कारक 2 और 4 हैं, क्योंकि 2 x 4 = 8। पूर्ण वर्ग, दूसरी ओर, पूर्णांक हैं, जो कि अन्य पूर्णांक द्वारा निर्मित किए गए हैं। उदाहरण के लिए, 25, 36 और 49 परिपूर्ण वर्ग हैं, क्योंकि वे क्रमशः 5 हैं2, 62 और 72. सही वर्गों के कारक हैं, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, कारक जो बदले में परिपूर्ण वर्ग हैं प्रधान संख्या संख्या के महत्व के आधार पर वर्गमूल को खोजने के लिए, आप शुरू में अपने नंबर को अपनी मूल कारकों को कम करने की कोशिश कर सकते हैं जो कि वर्ग हैं।
- चलो एक उदाहरण लेते हैं। हम हाथों से 400 के वर्गमूल को ढूँढ़ना चाहते हैं। इसके साथ शुरू करने के लिए, संख्याओं को उस वर्ग के रूप में विभाजित करने का प्रयास करें, जो सही वर्ग हैं। चूंकि 400 100 का एक बहुमूल्य है, हम जानते हैं कि यह 25 से विभाज्य है - एक आदर्श वर्ग मन में एक त्वरित विभाजन हमें यह जानने की अनुमति देता है कि 25 में 400 16 गुना संयोग से, यहां तक कि 16 एक आदर्श वर्ग है। इस प्रकार, 400 के सही वर्ग कारक हैं 25 और 16, क्योंकि 25 x 16 = 400
- हम इसे लिख सकते हैं: Sqrt (400) = Sqrt (25 x 16)
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अपने कारकों का वर्गमूल बनाओ जो सही वर्ग हैं वर्ग जड़ों के उत्पाद स्वामित्व बताते हैं कि किसी भी संख्या के लिए को और ख, Sqrt (एक एक्स बी) = Sqrt (ए) एक्स Sqrt (बी) इस संपत्ति के आधार पर, हम अपने कारकों की वर्ग जड़ों को प्राप्त कर सकते हैं जो सही वर्ग हैं और हमारी प्रतिक्रिया प्राप्त करने के लिए उन्हें एक साथ गुणा कर सकते हैं।
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यदि आपका नंबर सही कारक नहीं है, तो इसे न्यूनतम नियमों तक कम करें वास्तविक जीवन में, अधिकतर भाग के लिए, आप जितनी संख्या प्राप्त करेंगे, उतनी संख्या अच्छी नहीं होगी "दौर" पूरी तरह से द्विघात कारक के साथ, जैसे कि 400. इन मामलों में, एक पूर्णांक के रूप में सटीक उत्तर ढूंढना असंभव हो सकता है। इसके बजाय, सभी संभावित कारकों को खोजने के लिए, जो सही चौराहे हैं, आप छोटे वर्ग के रूट के अनुसार उत्तर पा सकते हैं, सरल और आसान प्रबंधन कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको अपने नंबर को सही और गैर-वर्ग के कारकों के संयोजन से कम करना होगा, और फिर सरल बनाना होगा।
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यदि आवश्यक हो, तो किसी न किसी अनुमान का अनुमान लगाएं। छोटी कारकों के रूप में आपके वर्गमूल के साथ, शेष वर्ग की जड़ों के मूल्यों को अनुमान लगाकर और उन्हें गुणा करके एक संख्यात्मक मूल्य का लगभग अनुमान लगाना आम तौर पर आसान होता है। इस अनुमान को बनाने में आपकी सहायता करने का एक तरीका है कि आपके वर्ग रूट नंबर के दोनों किनारों पर आदर्श वर्ग मिलें। आपको पता चल जाएगा कि आपके वर्गमूल का दशमलव मान इन दो अंकों के बीच होगा: इस तरह आप उन दोनों के बीच एक मान अनुमानित कर सकेंगे।
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वैकल्पिक रूप से, पहले चरण के रूप में, अपने नंबर को अपनी न्यूनतम शर्तों पर कम करें। यदि आप एक संख्या के प्रमुख कारक (उन कारक, जो भी प्रमुख संख्याएं हैं,) निर्धारित कर सकते हैं, तो यह पूरी तरह से द्विघात कारक खोजने के लिए आवश्यक नहीं है। अपने प्रमुख कारकों के रूप में अपना नंबर लिखें फिर अपने कारकों के बीच प्रमुख संख्याओं के संभावित संयोजनों की तलाश करें। जब आपको दो समान प्राथमिक कारक मिलते हैं, तो इन दोनों नंबरों को वर्गमूल के भीतर से हटा दें और इनमें से केवल एक वर्गमूल से बाहर रखें।
विधि 2
स्क्वायर रूट मैन्युअल रूप से खोजेंकॉलम में विभाजन विधि का उपयोग करें
1
जोड़े में आपकी संख्या के अंकों को अलग करें यह विधि किसी सटीक वर्गमूल को अंक के आधार पर, अंक के अनुसार, कॉलम विभाजन के समान प्रक्रिया का उपयोग करता है। जरूरी नहीं है, अगर आप अपने कार्यक्षेत्र को नेत्रहीन रूप से व्यवस्थित करते हैं और अपने टुकड़ा नंबर पर काम करते हैं, तो आप इस प्रक्रिया को सुविधाजनक बना सकते हैं। सबसे पहले, ऊर्ध्वाधर रेखा खींचना जो आपके कार्यक्षेत्र को दो खंडों में अलग करती है, फिर दायें भाग के शीर्ष पर, एक छोटे से ऊपरी हिस्से में एक बड़ा, निचला भाग में विभाजित करने के लिए, शीर्ष पर एक छोटी क्षैतिज रेखा खींचना। फिर, दशमलव बिंदु से शुरू, अंकों को जोड़ों में विभाजित करें: उदाहरण के लिए, 79.520.789.182.47897 हो जाता है "7 95 20 78 91 82, 47 89 70"। इसे ऊपरी बाएं कोने में लिखें
- उदाहरण के लिए, चलो 780.14 के वर्गमूल की गणना करने का प्रयास करें। ऊपर के रूप में अपनी कार्य स्थान को विभाजित करने और लिखने के लिए दो सेगमेंट बनाएं "7 80.14" शीर्ष पर, बाएं अंतरिक्ष में ऐसा हो सकता है कि दूर की ओर केवल एक ही नंबर होता है, साथ ही साथ दो मिलते हैं। आप अपना उत्तर (780.14 का वर्गमूल) ऊपरी दाएँ स्थान पर लिखेंगे।
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संपूर्ण खोजें n बड़ा, जिसका वर्ग, संख्या के बराबर या उसके बराबर है या दूर बाईं ओर संख्याओं की जोड़ी है। बाईं टुकड़ा से शुरू करें, जो एक एकल संख्या या अंकों की एक जोड़ी होगी। उस समूह से कम सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग खोजें, फिर इस संपूर्ण वर्ग का वर्गमूल बनाएं। यह संख्या है n. ऊपरी बायीं तरफ अंतरिक्ष में n टाइप करें और निचले दाहिने चतुर्भुज में n का वर्ग लिखें।
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बाएं जोड़ी से गणना की गई संख्या घटाएं स्तंभ में प्रभाग के लिए, निम्नलिखित चरण में केवल उस समूह से मिला वर्ग को घटाना शामिल है जिसे हमने अभी विश्लेषण किया है। इस नंबर को पहले समूह के तहत लिखें और घटाएं, आपके उत्तर के तहत लिखें।
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नीचे दिए गए दो अंकों वाले समूह को लिखें नीचे दिए गए दो-अंकीय समूह को आगे बढ़ाएं, सिर्फ वसूली के परिणाम के आगे। फिर ऊपरी दाहिने वृत्त का चतुर्थ भाग में दो नंबरों की गुणा करें और इसे नीचे दाईं ओर लाएं। आपके द्वारा लिखित संख्या के निकट, `जोड़ें`"_x_ ="`।
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दायां चतुर्भुज में रिक्त स्थान भरें। आपको समान पूर्णांक दर्ज करना होगा यह संख्या सबसे बड़ा पूर्णांक होना चाहिए जो गुणा का परिणाम सही चतुर्भुज में बाईं ओर संख्या से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
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संख्या को घटाएं जिसे आपने संख्या की बाईं ओर संख्या की गणना की थी। कॉलम में विभाजन के साथ जारी रखें। गुणांक के परिणाम को सही चतुर्भुज में रखें और इसे बाईं ओर संख्या से घटाना, इसके नीचे क्या लिखना है।
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चरण 4 को दोहराएं निम्न दो अंकीय समूह को कम करें जब आप अल्पविराम से मिलते हैं, तो भी अपने परिणामों में ऊपरी दाएँ चतुर्भुज में इसकी रिपोर्ट करें फिर संख्या को ऊपरी दाएं कोने में दो से गुणा करके समूह के बगल में लिखें ("_ x _"), जैसा कि पहले किया गया था
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चरण 5 और 6 दोहराएं दाईं ओर रिक्त स्थान में डालने के लिए सबसे बड़ा अंक ढूंढें जो बाईं ओर संख्या के बराबर छोटे परिणाम देता है तब समस्या हल करें
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यदि आप अन्य नंबर ढूंढना चाहते हैं, तो नीचे बाईं ओर 0 की एक जोड़ी लिखें और चरण 4, 5 और 6 को दोहराएं। आप इस प्रक्रिया के साथ सेंट, हज़ारवां, और इसी तरह मिल सकते हैं। जारी रखें जब तक आप आवश्यक दशमलव तक नहीं पहुंच जाते।
प्रक्रिया को समझना
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यह तरीका कैसे समझ सकता है, इस पर विचार करें कि आप किस वर्ग की गणना कर सकते हैं वर्ग की सतह को एक वर्ग के एस के रूप में गणना करना चाहते हैं। यह निम्नानुसार है कि आप जो गणना कर रहे हैं वह उस वर्ग के किनारे की लंबाई एल है। नंबर एल खोजना चाहते हैं, जिसका वर्ग एल2 = एस एस का वर्गमूल ढूँढना, वर्ग के एल साइड का पता लगाएं।
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अपने उत्तर के प्रत्येक अंक के लिए चर निर्दिष्ट करें। एल के प्रथम अंक के रूप में वेरिएबल A असाइन करें (हम उस वर्गमूल की गणना करने की कोशिश कर रहे हैं)। बी दूसरा अंक होगा, सी तीसरे और इतने पर।
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अपने शुरुआती संख्या के प्रत्येक समूह के लिए चर निर्दिष्ट करें। चर एस को असाइन करेंएक एस में अपने पहले अंक के अंकों (आपके प्रारंभिक मूल्य), एसबी अंकों की दूसरी जोड़ी, आदि के लिए
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एक समय में डिवीजनों की गणना में एक के रूप में गिना जाता है, इसलिए वर्गमूल की गणना में एक समय की एक जोड़ी को समझता है (जो वर्गमूल के एक समय में एक अंक है)।
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सबसे बड़ा नंबर पर विचार करें जिसका वर्ग एस से छोटा हैएक. हमारे जवाब में पहला अंक A सबसे बड़ा पूर्णांक है जिसका वर्ग एस से अधिक नहीं हैएक (जैसे कि ए² ≤ एसएक< (ए + 1) ²)। हमारे उदाहरण में, एसएक = 7 और 2² ≤ 7 < 3², अतः ए = 2
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वह वर्ग देखें जिसे आप क्षेत्र की गणना कर रहे हैं। जबाब, आपका शुरुआती संख्या का वर्गमूल, एल, जो एक वर्ग क्षेत्र एस (अपने प्रारंभिक संख्या समापन कोष्ठक के किनारे की ओर का वर्णन है। मूल्यों ए, बी और सी संख्या एल के अंकों का प्रतिनिधित्व यह कहने का एक और तरीका है, दो अंकीय परिणाम के लिए, 10 ए + बी = एल, जबकि तीन अंकीय परिणाम के लिए, 100 ए + 10 बी + सी = एल और इसी तरह।
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एस से A² को घटाया जाता हैएक. कारक 100 पर विचार करने के लिए, अंक की एक जोड़ी एस (एसबी): "एसएकएसबी" यह वर्ग का कुल क्षेत्रफल और उस से घटाया जाने वाला 100 ए वर्ग होना चाहिए (सबसे बड़ा वर्ग का क्षेत्रफल)। क्या रहता है चरण 4 में बाईं ओर प्राप्त संख्या N1 (उदाहरण में 380)। यह संख्या 2 × 10 ए × बी + बी² (दो वर्गों के क्षेत्रफल को छोटे वर्ग क्षेत्र में जोड़ा गया) के बराबर है।
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एन 1 = 2 × 10 ए × बी + बी² की गणना करें, जिसे एन 1 = (2 × 10 ए + बी) × बी के रूप में भी लिखा गया है। एन 1 (= 380) और एक कर दिया गया (= 2), और इसके बाद के संस्करण बी समीकरण में खोजना चाहते हैं, बी शायद नहीं एक पूर्णांक, हो जाएगा तो आप सबसे बड़ी पूर्णांक बी मिल जाएगा ताकि (2 × 10A + बी) × बी ≤ एन 1 - चूंकि बी + 1 बहुत बड़ा है, तो आपके पास: एन 1 होगा < (2 × 10 ए + (बी + 1)) × (बी + 1)
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हल करने के लिए, 2 से गुणा करें, उसे दशमलव के बराबर रखें (जो 10 के बराबर होगा), बी को इकाइयों की स्थिति में रखें और उस नंबर को बी द्वारा गुणा करें। यह संख्या (2 × 10 ए + बी) × बी है, जो वास्तव में लिखने के समान है "N_ × _ =" कदम 4 में नीचे दाईं चरण 5 में, सबसे बड़ा पूर्णांक के लिए देख रहा है कि, गुणा, व्यास (2 × 10A + बी) × बी ≤ एन 1 में बदल दिया पर वृत्त का चतुर्थ भाग में (N = 2 × एक साथ)।
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कुल क्षेत्र से क्षेत्र (2 × 10A + बी) × बी घटाएँ (बाईं ओर, चरण 6 में) है, जो क्षेत्र एस (10A + बी) ², नहीं अभी तक ध्यान में रखा (और जिसके लिए काम करेगा से मेल खाती है उसी तरह अगले अंक की गणना करें)।
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निम्न सी आकृति की गणना करने के लिए, प्रक्रिया को दोहराएं: एस (एस से आंकड़े की अगली जोड़ी कमसी) को छोड़कर एन 2 प्राप्त करने के लिए और बड़ी सी संख्या की खोज करें ताकि 2 × 10 × (10 ए + बी) + सी) × सी ≤ एन 2 (जो कि दो अंकों वाले नंबर के 2 के लिए उत्पाद लिखने के तरीके "ए बी" द्वारा पीछा किया "_ × _ =" और सबसे अधिक संख्या पाते हैं जो गुणा में डाला जा सकता है)।
टिप्स
- दो अंकों के अल्पविराम को दशमलव संख्या (कारक 100) में ले जाने के लिए एक को अल्पसंख्यक को वर्गमूल (कारक 10) में स्थानांतरित करने के बराबर होता है।
- उदाहरण के तौर पर, 1.73 को एक के रूप में माना जा सकता है "आराम": 780.14 = 27.92 + 1.73
- यह विधि प्रत्येक प्रकार के आधार के साथ काम करती है, न कि केवल दशमलव एक
- आप अपने गणना के लिए सबसे सुविधाजनक तरीके से प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। कुछ शुरुआत संख्या के ऊपर परिणाम लिखते हैं।
- √z = √ (एक्स ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))): एक वैकल्पिक पद्धति के लिए सूत्र का उपयोग करता। उदाहरण के लिए, 780.14 के वर्गमूल की गणना करने के लिए, पूर्णांक जिसका वर्ग 780.14 के करीब है 28, इसलिए z = 780.14, x = 28, और y = -3.86। मूल्यों में प्लग लगाने और x + y / (2x) प्राप्त किया जाता है (सबसे कम संदर्भ में) 78207/2800, या अनुमान करने वाले, 27.931 (1) के लिए की गणना - अगले अवधि, या 4374188/156607, अनुमान करने वाले, २७.९३०९८६ (5)। प्रत्येक शब्द पिछले एक से परिशुद्धता के लगभग 3 दशकों में जोड़ता है
चेतावनी
- अल्पसंख्यक से शुरू होने वाली संख्याओं को दो अंकों के समूह में बनाते हुए नंबरों को विभाजित करना याद रखें। यदि आप में 79.520.789.182,47897 को विभाजित करते हैं "79 52 07 89 18 2.4 78 97" यह आपके लिए किसी भी प्रकार का उपयोग नहीं होगा।
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